QUESTIONS PROPOSÉES SUR LA GÉOMÉTRIE PLANE
Exercices concernant les divers paragraphes :
Du premier Livre (1 à 67) . 353
Du deuxième Livre (68 à 155) . 36o
Du troisième Livre (156 à 372) . . 3'’9
Du quatrième Livre (373 à 481) . 392
Questions diverses de Géométrie plane (482 à 530) . 4°3
TABLE DES MATIERES
NOTES
Mesure des grandeurs.
Pages.
Mesure d'une grandeur commensurable avec l'unité . 411
Mesure d’une grandeur incommensurable avec l’unité . . 412
Calcul des nombres incommensurables . . . . 4]3
Rapport des deux grandeurs.,. . * . . . 4 x 6
Conditions pour que deux grandeurs varient proportionnellement; grandeur proportionnelle à plusieurs autres . 4X7
NOTE IL
Sur l’impossibilité de la quadrature du cercle.
Formules de M. Hermite .
Théorèmes de M. Lindemann .
NOTE III
Sur la géométrie récente du triangle.
Définition des coordonnées d’un point et d’une droite; coordonnées nor¬
males et coordonnées barycen triques . 429
Points complémentaires et anticomplémentaires; triangle complémentaire et triangle anticomplémentaire du triangle de référence; orthocentre, triangle orthique, droite d’Euler . . . 4^i
Droite et points harmoniquement associés à un point donné; axe orthique
d’un triangle . 433
Points et transversales réciproques . 436
Points inverses, droites isogonales, triangle podaire et triangle antipodaire. 43/ Triangles orthologiques. — Propriétés des quadrangles métapolaires. . . . 44°
Métapôles de deux triangles; expressions des coordonnées des métapôles. — Points jumeaux . 4 I2
Triangles métaharmoniques par rapport à un point ; propriétés du triangle métaharmonique et du triangle podaire d’un triangle par rapport à un même point. — Centres métaharmoniques de deux triangles; trouver dans le plan d’un triangle un point dont les distances aux trois sommets soient proportionnelles à des nombres donnés; points tripolairement associes . 447
TABLE DES MATIÈRES
Pages.
Symédianes; centre des symédianes ou point de Lemoine, droite de Lemoine ; coordonnées normales et coordonnées barycentriques du centre des symédianes; ces dernières coordonnées sont les mêmes dans le triangle donné et dans son triangle orthique; trouver dans le plan d’un triangle un point dont la somme des carrés des distances aux
côtés du triangle soit un minimum ; autres propriétés . 4^3
Centres isogones et centres isodynamiques; propriétés et détermination ;
cercles d’Apollonius . 4^7
Cercle de Brocard; premier et second triangle de Brocard du triangle donné; angle de Brocard du même triangle; axes et angles de Steiner.
— Propriétés et formules correspondantes. — Points de Brocard, leurs coordonnées barycentriques et leurs coordonnées normales. —
Autres propriétés relatives au cercle de Brocard . 4^9
Cercles tangents aux trois côtés d’un triangle ; point de Gergonne; point
de Nagel . 4^8
Des ligures semblablement variables; propriétés et formules diverses. .. 47°
Sur quelques cercles remarquables. — Construire un triangle qui soit homothétique à un triangle donné et tel, que les six points de rencontre des côtés non homologues des deux triangles soient situés sur une même circonférence; conséquences. — Les projections respectives des pieds des hauteurs d’un triangle donné sur les deux autres côtés, sont
six points situés sur une même circonférence; etc . 478
Questions proposées sur la Géométrie du triangle (là 56) . 487
,), « Nous voyons par expérience qu entre esprits égaux et touteschoses pareilles, celui qui a de la Géométrie l’emporte, et acquiert une vigueur toute nouvelle. » Pascal.
Les idées d’étendue, de situation et de forme sont aussi anciennes que l’homme. On attribue aux Égyptiens et aux Chaldéens le premier essai de coordination de ces idées. Hérodote explique comme il suit la naissance de la Géométrie en Égypte.
« Les prêtres me dirent encore que Sésostris fit le partage des terres, assignant à chaque Egyptien une portion égale et quarrée, qu’on lirait au sort, à la charge néanmoins de lui payer tous les ans une certaine redevance qui composait le revenu royal. Si une crue du Nil enlevait à quelqu’un une portion de son lot, il allait trouver Sésostris pour lui exposer l’accident, et le Roi envoyait sur les lieux des Arpenteurs pour mesurer de combien l’héritage était diminué, afin de ne faire payer la redevance convenue qu’à proportion du fonds qui restait. Voilà, je crois, l’origine de la Géométrie qui a passé de ce pays à la Grèce (] ). »
Il est possible que Sésostris ait appliqué, le premier, l’Arpentage des terres à la juste répartition des impôts; mais cela même prouve que les principes de la Géométrie étaient connus sans doute longtemps avant lui.
Quoi qu’il en soit, cette Science fut introduite chez les Grecs parle Phénicien Thalès ( 6 39-548 av. J.-C.). Instruit en Égypte,
(') Hérodote, Livre II, §CIX.
PRÉFACE
il apprit, dit-on, à ses maîtres à mesurer la hauteur des pyramides de Memphis par l’étendue de leurs ombres, et revint
fonder à Milet l’Ecole ionienne, pépinière de philosophes et de savants. On lui attribue l’emploi delà circonférence de cercle pour la mesure des angles, et c’est à lui qu’on fait remonter la théorie des Triangles semblables. Il répandit d’ailleurs le premier en Grèce les connaissances astronomiques qu’il avait sans doute puisées en Egypte.
Thalès eut pour disciple Pytbagore de Samos (58o av. J.-C.), qui, après avoir voyagé en Égypte et dans les Indes, vint fonder en Italie l’École célèbre qui porte son nom.
Pytbagore restera immortel, surtout par la proposition du carré de l’hypoténuse. II en lira la conséquence relative à l’incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, et lui ou ses élèves en déduisirent plusieurs propriétés générales des lignes incommensurables entre elles. Parmi les résultats qui semblent dus à Pytbagore, on peut encore citer la propriété du cercle ou de la sphère d’être maximum parmi les ligures de même périmètre ou de même aire, et la première théorie des corps réguliers qui devaient jouer un si grand rùle dans les rêveries cosmogoniques de l’antiquité et du moyen âge.
Remarquons que, dans la longue suite des philosophes grecs, qui s’étend depuis Thalès et Pytbagore jusqu’à la fin de l’École d’Alexandrie (638 ap. J. -G.), presque tous ont cultivé à la fois l’Astronomie et la Géométrie qu’ils regardaient comme la Science primordiale, fondement de toutes les autres. C’est à eux qu’on doit ainsi la création à peu près entière de ce que nous appelons actuellement la Géométrie élémentaire. A cette époque, on ne séparait pas la Science de la Philosophie et, après un trop long intervalle, on revient aujourd’hui de plus en plus à cette alliance nécessaire.
PREFACE
L’essor de la Géométrie en Grèce date surtout de Platon (43o-347 avant J.-C.). Ce grand homme alla d’abord s’instruire près des prêtres égyptiens; puis, en Italie, auprès des Pythagoriciens. De retour à Athènes, il introduisit dans la Science la méthode analytique, la théorie des sections coniques et la doctrine si féconde des lieux géométriques. C’était créer une Géométrie nouvelle, à laquelle on donna à cette époque le nom de Géométrie transcendante. Telle fut, en Mathématiques, l’œuvre magnifique de l’illustre Philosophe, chef du Lycée, qui inscrivit sur la porte de son École : « Que nul n'entre ici, s’il n’est géomètre. »
La doctrine des lieux géométriques fut appliquée dès ce temps, avec une très grande ingéniosité, aux problèmes fameux de la duplication du cube, des deux moyennes proportionnelles et de la trisection de l’angle. La difficulté de ces questions tenait à ce qu’on ne voulait les résoudre qu’à l’aide de la règle et du compas. On fut obligé d’y renoncer et de se servir d’autres lignes que la ligne droite et le cercle.
Les successeurs de Platon et de ses disciples étudièrent avec ardeur les sections coniques, dont Platon avait trouvé plusieurs propriétés. Ces célèbres courbes, qui devaient, deux mille ans plus tard, tenir tant de place dans la Philosophie naturelle, lors des superbes découvertes astronomiques de Képler et de Newton, furent donc complètement connues des Grecs.
De meme que Platon avait rencontré les coniques, courbes du deuxième degré, en examinant les sections d’un cône par un plan, Perseus forma ses lignes spiriques, courbes du quatrième degré, en coupant un tore par un plan. Nous devons regretter la perte des écrits de Perseus à ce sujet, traité par lui géométriquement et qui exige encore aujourd’hui, au point de vue analytique, un calcul assez complexe. Nous ne mentionnons ici les spiriques que pour montrer que les an-
PRÉFACE
ciens ont pénétré, beaucoup plus avant qu’on ne pourrait le croire au premier abord, dans l’étude de la Géométrie.
En rassemblant les découvertes de ses devanciers et les siennes propres, Euclide (285 av. J.-C.) prépara celles de ses
successeurs. Ce géomètre, qui établit le lien entre l’Ecole Platonicienne et l’École d’Alexandrie, est surtout connu par ses Éléments où l’on voit apparaître, pour la première fois, la méthode de réduction à l’absurde. Toutefois, il avait écrit d’autres Ouvrages qui ne nous sont point parvenus et dont le plus profond était sans doute ce fameux Traité des Porismes, dont la divination, après avoir exercé vainement la sagacité des meilleurs esprits des siècles derniers, a été si heureusement accomplie par M. Chasles, d’après un passage obscur et quelques lemmes de Pappus.
Jamais aucun livre de science n’a eu une aussi longue influence que les Éléments d’Euclide. Ils ont été traduits et commentés dans toutes les langues, enseignés exclusivement pendant des siècles dans toutes les Écoles de Mathématiques : on les suit encore en Angleterre. Ils sont divisés en treize Livres, dont les six premiers et les trois derniers appartiennent à la Géométrie; les quatre autres se rapportent au calcul des grandeurs. On ne trouve pas dans les Éléments la mesure de la circonférence de cercle : cette découverte capitale étaitréservée à Archimède.
Les anciens géomètres cherchaient à mettre une extrême rigueur dans leurs démonstrations. Par cela même, celles d Euclide sont quelquefois longues, indirectes et compliquées Pour les commençants. Aussi, Ptolémée Philadelpbe, roi d Égypte, dont il fut le maître, lui demanda-t-il un jour d’aplanir un peu en sa faveur les difficultés de la route. « Seigneur, lui répondit Euclide, il n’y a pas en Géométrie de chemin particulier pour les rois. »
PREFACE
Immédiatement après Euclide, Archimède et Apollonius marquèrent l’apogée de la Géométrie chez les anciens. Toutes les branches des Mathématiques conservent les traces ineffaçables de leurs sublimes conceptions.
Les travaux d’Archimède (287-212 av. J.-C.), le plus grand mathématicien de l’antiquité, se rapportent spécialement à la Géométrie de la mesure.
En trouvant le rapport de la circonférence au diamètre et en effectuant de deux manières différentes la quadrature de la parabole, le géomètre de Syracuse donna les premiers exemples d’un problème résolu par approximation et de l’évaluation rigoureuse d’une aire à contour curviligne.
Le Traité des spirales, la proportion de la sphère et du cylindre circonscrit, la cubature des sphéroïdes (ellipsoïdes de révolution) et des conoïdes (paraboloïdes et hyperboloïdes de révolution), sans oublier dans un autre domaine le principe du levier, la notion du centre de gravité et l’équilibre des corps flottants ou plongés dans les liquides, sont autant d’inventions ou de découvertes capitales de ce génie créateur, auquel la Statique doit autant que la Géométrie.
La marche suivie par Archimède, pour démontrer des vérités mathématiques si nouvelles, constitue la Méthode d' éxliaustion dans laquelle la Méthode des limites se trouve en germe.
Veut-il, par exemple, chercher l’aire enfermée par une courbe, il regarde cette courbe comme la limite dont s’approchent de plus en plus des polygones inscrits et circonscrits, quand on multiplie par bissection le nombre de leurs côtés, de manière que la différence tombe au-dessous de toute quantité donnée. Il épuise , pour ainsi dire, cette différence, d’ouest venu le nom de la méthode. Une fois le résultat obtenu par voie de rapprochements successifs et par induction finale, Ar-
XK
PRÉFACE
chimède revient à la méthode par l’absurde, pour l’établir en toute rigueur.
Le tombeau de ce prodigieux génie, oublié par les descendants de ceux qu’il avait si merveilleusement défendus conlre les Romains, fut retrouvé deux cents ans après sa mort, caché sous les ronces, dans une campagne voisine de Syracuse : il portait graves, selon le vœu du géomètre, le dessin de la sphère inscrite au cylindre et six vers grecs qui rappelaient sa découverte. Ces vestiges permirent à Cicéron, alors questeur en Sicile, de le retrouver après bien des recherches, et de ramener une seconde fois, comme il le dit, Archimède à la lumière.
Les écrits d’Apollonius (247 av. J.-C.) sont surtout relatifs à la Géométrie de la forme. Le principal semble le grand Traité des Coniques, qui valut à son auteur le surnom de Géomètre par excellence, et où l’on trouve les propriétés des asymptotes, des foyers, des diamètres conjugués, des normales, un théorème sur la polaire, la première idée des développées, et de belles questions de maximum et de minimum qui renferment tout ce que les méthodes analytiques actuelles nous enseignent sur ce sujet.
On attribue encore à Apollonius la célèbre théorie des épicycles, qui servaient à expliquer les mouvements apparents des planètes.
Le grand Traité des Coniques était divisé en huit Livres. Les quatre premiers sont arrivés jusqu’à nous en grec, c’est-à-dire dans le texte original; nous ne connaissons les trois suivants que par une traduction arabe qui date du milieu du treizième siècle et qui fut elle-même mise en latin vers i65o; le huitième Livre est perdu. Le célèbre astronome Ilalley, par un effort de divination, a restitué ce huitième Livre d’après le plan d’Apollonius, et a publié à Oxford, en 1710, une magnifique édition du
PRÉTACE.
Traité ainsi complété. C’est dans le septième Livre qu’Apollonius démontre les théorèmes importants qui portent son nom et qui lient les diamètres conjugués aux axes dans l’ellipse et dans l'hyperbole.
Ajoutons que ce fut lui qui, le premier, considéra les coniques sur un cône oblique à base circulaire, le plan sécant étant perpendiculaire au plan déterminé par l’axe et la hauteur du cône. On ne les avait étudiées jusque-là que sur le cône de révolution, et encore, en supposant le plan sécant perpendiculaire à l’une des génératrices du cône : on était ainsi obligé de prendre trois cônes d’angle différent pour obtenir les trois sections coniques, qui ne reçurent les noms sous lesquels nous les désignons aujourd’hui que dans l’Ouvrage de l’émule d’Archimède.
Les successeurs de ces deux hommes de génie dirigèrent leurs méditations vers l’Astronomie et vers les parties de la Géométrie qui se rattachent à cette Science. Nous nous contenterons de mentionner les principaux.
Hipparque (i5o av. J.-C. ) , le plus grand astronome de l’antiquité, fut le véritable fondateur de l’Astronomie mathématique, l’inventeur de la Trigonométrie rectiligne et sphérique. C’est à lui qu’on doit très probablement faire remonter la découverte de la projection stéréographique, ainsi que celle des propriétés des transversales dans les triangles rectilignes ou sphériques, qu’on attribue parfois à Ptolémée, bien qu’on les trouve déjà dans Ménélaüs.
Le Traité des Sphériques de Théodose (ioo av. J.-C.), où ce géomètre étudie diverses propriétés des grands cercles tracés sur la sphère, a eu beaucoup de réputation et peut être regardé comme une sorte d’introduction à la Trigonométrie sphérique.
Ménélaüs (80 ap. J.-C.), géomètre et astronome, publia aussi un Ouvrage portant le même titre que celui de Théodose,
PRÉFACE
mais allant plus loin puisqu’il traite spécialement des propriétés des triangles sphériques.
La plus importante proposition des Sphériques deMénélaüs est celle qui concerne les six segments déterminés sur les trois côtés d’un triangle sphérique par un arc de grand cercle quelconque. Ménélaüs emploie comme lemme, pour sa démonstration, le théorème analogue de Géométrie plane dont Carnot a fait, de nos jours, le fondement de sa théorie des transversales.
Ptolémée (ia5 ap. J.-C.), astronome et géomètre du plus grand savoir, nous a laissé, dans son Almageste, le seul Traité de Trigonométrie rectiligne et sphérique que nous aient légué les Grecs, puisque les écrits d’Hipparque sur ce sujet ont été perdus. Il établit sa Trigonométrie sphérique sur le théorème des six segments, qu’il donne comme Ménélaüs. On trouve, entre autres, dans Y Almageste, la belle propriété du quadrilatère inscrit dans le cercle, par laquelle le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.
Citons encore, de Ptolémée, son Optique et un Traité des trois dimensions des corps, où, le premier sans doute, il parle des trois axes rectangulaires auxquels la Géométrie analytique rapporte aujourd’hui le plus souvent la position d’un point quelconque dans l’espace.
Nous devons nommer avec honneur Pappus (385 ap. J.-C.), le plus célèbre commentateur des Ouvrages de l’École grecque qui s’était développée à Alexandrie, esprit original et profond dont Descartes faisait grand cas.
Ses précieuses Collections mathématiques représentent à peu près l’état de la Science à cette époque. Elles étaient divisées en huit Livres : les deux premiers ne sont pas parvenus jusqu’à nous; les autres renferment surtout des questions de Géométrie, mais l’Astronomie et la Mécanique n’y sont pas
PRÉFACE
oubliées. On y trouve la fameuse règle connue sous le nom de Théorème cle Guldin , qui fait intervenir le centre de gravité d’une ligne ou d’une surface dans la mesure de l’aire ou du volume de révolution correspondant. Cette proposition, retrouvée par Guldin au commencement du xvne siècle, semble appartenir à Pappus. La préface du septième Livre renferme une définition précise de X analyse et de la synthèse , et le géomètre alexandrin donne ensuite des exemples de ces deux méthodes appliquées tour à tour à une même question. On voit, par les problèmes qu’il résout, que les anciens s’étaient livrés d’une manière assez approfondie à l’étude des surfaces courbes et des lignes à double courbure tracées sur ces surfaces. Enfin, on rencontre dans les Collections la propriété fondamentale du rapport anharmonique, le germe de la théorie de l’involution, un cas particulier de la belle propriété de l’hexagone inscrit dans une conique et la notion de la directrice dans ces courbes, qui avait échappé à Apollonius.
La Géométrie dite moderne a donc ses racines dans l’antiquité, et ses progrès eussent été bien plus rapides sans l’arrêt imposé aux sciences par les bouleversements et les transformations qui suivirent la décadence et la chute de l’empire romain.
L’École d’Alexandrie, après Pappus, fut encore prolongée par Serenus ; par Dioclès, inventeur de la cissoïde ; par Proclus, philosophe célèbre, qui cultiva les Mathématiques et dont nous avons un commentaire curieux sur le premier Livre d’Euclide.
Mais elle avait déjà perdu tout son éclat lors de la conquête arabe (638 ap. J.-C.). Au vmc siècle, et surtout au ix®, l’école de Bagdad compta quelques commentateurs habiles des Ouvrages grecs échappés aux désastres successifs de la bibliothèque d’Alexandrie ; mais, en Europe, mille ans s’écoulèrent dans une profonde stagnation, et ce n’est que vers le
PRÉFACE
milieu du xvie siècle que la Géométrie, suivant le mouvement général des Lettres, des Sciences et des Arts, se ranima.
Pourêtre juste enverslesArabes,ilfautcependant reconnaître que la Trigonométrie leur doit la forme simple et commode sous laquelle nous l’appliquons. Par la substitution des sinus aux cordes des arcs doubles qu’on employait auparavant, ils abrégèrent notablement les calculs.
Dès le commencement de la Renaissance, le fil fut enfin renoué, la tradition reconstituée, et l’ancienne Géométrie cultivée en Europe avec succès. La plupart des Ouvrages laissés par les géomètres grecs furent traduits en latin ou en italien. L’étude des langues anciennes, alors fort répandue, multipliait les moyens d’instruction.
Notre compatriote Viète (i54o-i6o3), en inventant l’Algèbre dont il fut le véritable créateur, compléta la Méthode analytique de Platon qu’il introduisit ainsi dans la science des nombres. Il eut encore la gloire d’appliquer le meme algorithme à la Géométrie. Par sa construction graphique des équations du deuxième et du troisième degré, il fit un premier pas dans la voie féconde, qui devait, en unissant intimement l’Algèbre et la Géométrie, conduire aux grandes découvertes de Descartes et mettre en notre possession la clé universelle des Mathématiques.
Très versé aussi dans la Géométrie des anciens, Viète restitua le traité perdu d’Apollonius, De Tactionibus (des contacts), sous le titre d’ Apollonius Gaîlus. C’est là qu’il résolut, le premier, le problème du cercle tangent à trois cercles donnés, problème difficile alors, mais dont les méthodes modernes ont offert des solutions plus élégantes et plus simples. Il perfectionna en outre, de la manière la plus utile, la Trigonométrie sphérique, en résolvant notamment quelques cas nouveaux des triangles sphériques qui n’avaient point reçu d’application
TRÉFACE.
en Astronomie, par exemple celui où l’on doit trouver un angle connaissant les trois côtés.
On remarque, dans la Trigonométrie de Viète, une idée neuve et très heureuse sur la transformation des triangles sphériques. Le triangle réciproque considéré par Viète conduisit, sans nul doute, le célèbre Snellius à la découverte du triangle polaire ou supplémentaire, première apparition dans la Science (1627) de la loi générale de dualité de V étendue que M. Chasles devait, plus de deux siècles après, mettre en pleine lumière.
C’est au grand Kepler (157 i-i63 1 ) qu’on doit l’introduction de l’idée de l’infini en Géométrie. Il put, par son aide, généraliser les recherches d’Archimède sur la cubature des sphéroïdes et des conoïdes, en faisant tourner la conique autour d’une droite située dans son plan. Il faut encore ajouter à l’actif en Géométrie du fondateur de l’Astronomie moderne la doctrine des polygones étoilés (retrouvée de nos jours par Poinsot), et sa belle méthode des projections pour déterminer, par une construction graphique et près de deux cents ans avant l’invention de Monge, les circonstances des éclipses de Soleil pour les habitants des différentes régions terrestres.
Quelques années après Kepler, Cavalleri (1598-1647) donna sa Géométrie des indivisibles, où il montrait, comme l’illustre astronome, à évaluer les grandeurs géométriques par leurs éléments. La méthode de Cavalleri, qui a suppléé pendant cinquante ans au Calcul intégral, n’est, comme il l’a fait voir luimême, qu’une transformation heureuse de la méthode d’exhaustion, si habilement appliquée par Archimède.
Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), à son tour, mais d’une manière qui lui était propre, appliqua, comme Cavalleri etRoberval, la méthode d’exhaustion d’Archimède aux quadratures curvilignes. Il a mérité par là d’être regardé, lui aussi,
ru?. FA CE.
comme un des précurseurs du Calcul infinitésimal. La Géométrie des sections coniques lui doit de nombreuses découvertes, et il écrivit un Traité remarquable sur les rapprochements singuliers qu’on peut faire entre la parabole et la spirale, dont les propriétés se correspondent. Il donna ainsi l’occasion à Pascal de composer son beau Mémoire sur X égalité des lignes spirale et parabolique , premier exemple de la comparaison de deux lignes d’espèce différente par la Géométrie des anciens.
Descartes (1596-1650), Fermât (1590-1663), Roberval (1602- 1675), eurent presque au même instant la gloire de résoudre dans toute sa généralité, chacun par une voie distincte, le Problème des tangentes aux lignes courbes, prémisses nécessaires de l’invention du Calcul différentiel.
On connaissait des solutions particulières de ce Problème pour quelques courbes, comme les coniques et la spirale d’Archimède; mais ces solutions restaient impuissantes dans leur étroitesse spéciale, dès qu’on voulait aborder une courbe nouvelle. La Géométrie demeurait concrète ; elle ne s’était point élevée au caractère abstrait qui pouvait seul lui donner toute son étendue et toute sa puissance.
Descartes et Fermât, en appliquant différemment ce point de vue, regardaient tous deux la tangente à une courbe comme une sécante dont deux points d’intersection sont réunis; Roberval la considérait comme la direction du mouvement résultant par lequel la courbe peut être décrite. Sa méthode, qui rentre mieux que celle de Descartes ou de Fermât dans la Géométrie pure, était ainsi fondée sur la composition des mouvements, doctrine découverte par Galilée peu de temps auparavant et appliquée par lui à la seule Mécanique. L’idée de déduire des considérations de mouvement un principe de génération de toutes les courbes fait certainement grand honneur à Roberval.
PRÉFACE
Le profond Fermât, dans les écrits duquel apparaissent, comme dans ceux de Kepler, les germes évidents de la Méthode infinitésimale , qui fut sans égal dans la Théorie des nombres , qui partage avec Pascal la gloire de l’invention du Calcul des probabilités, qui, par l’application de sa belle Méthode De maximis et minimis au phénomène de la réfraction de la lumière, a mérité d’être associé à Descartes comme introducteur des Mathématiques dans l’étude des phénomènes naturels, Fermât excella aussi dans la Géométrie des anciens. On lui est redevable de la restitution des lieux plans d’Apollonius, ouvrage perdu, et il a donné la première solution complète des problèmes relatifs au contact des sphères, solution remarquable, mais qui a été dépassée depuis.
Pascal (1623-1662), si justement renommé pour ses étonnants travaux sur la cycîoïde, sur les indivisibles et sur le calcul des probabilités, avait trouvé, dès l’âge de seize ans, la belle propriété de Y hexagramme mystique (ou de tout hexagone inscrit à une conique, d’avoir en ligne droite les trois points de concours de ses côtés opposés). Il la prit pour base d’un Traité complet des coniques. Cet ouvrage a été malheureusement perdu, comme beaucoup d’autres de ce génie hors ligne et d’une si effrayante précocité, et nous n’en possédons qu’une sorte de programme, Y Essai sur les coniques, que Pascal publia dès 1640.
Dans les écrits de Pascal, on reconnaît l’influence de son contemporain, le Lyonnais Desargues ( 1 5*93— 1 663 ) , qu’un savant géomètre de nos jours, Poncelet, a surnommé le Monge de son siècle. Les anciens, qui étudiaient les sections coniques dans le cône même, employaient des démonstrations souvent pénibles et surtout différentes pour les trois courbes. Desargues, en cherchant à leur appliquer directement les propriétés du cercle qui était la base du cône, parvint à des
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PRÉFACE
démonstrations qui convenaient à la fois aux trois espèces de coniques, malgré la différence de forme de ces lignes. Il découvrit la propriété involutive du quadrilatère inscrit dons une conique, la propriété fondamentale des triangles homologiques, et écrivit avec le même talent et le même esprit de généralisation sur la Coupe des pierres, la Gnomonique et la Perspective.
Placés au point de vue de la Géométrie proprement dite, nous devons seulement mentionner la création de la Géométrie analytique par Descartes (1637). L’avènement de celte nouvelle doctrine, si séduisante par son caractère d’universalité, si facilement féconde, et dont on ne trouve aucun germe dans les écrits des anciens, fut une véritable révolution. Le grand philosophe, par cette admirable conception de l’ Application de V Algèbre à la théorie des courbes, put franchir des obstacles qui avaient arrêté les plus profonds géomètres, et changea la face des sciences mathématiques. On le suivit avec enthousiasme, et un coup funeste fut porté à la Géométrie pure.
Cependant, quelques esprits éminents s’opposèrent à cette décadence, et soutinrent dignement l’honneur des méthodes anciennes. Nous citerons surtout Iluygens (1629-1695) et de la Hire (1640-1718}.
Iluygens, que Newton proclamait le plus excellent imitateur des anciens, et que Leibnitz plaçait au premier rang parmi les hommes de son siècle, créa la théorie des développées et découvrit les lois de la force centrifuge. Son célèbre Traité, De horologio oscillatorio , est l’indispensable introduction des Principes de Newton, et se place tout à côté dans l'histoire des grandes conceptions de l’esprit humain. Il faut en dire autant du Traité de la Lumière de l’illustre Hollandais, à qui l’on doit la théorie des ondes.
Le principal ouvrage publié par de la Ilire est un grand
PRÉFACE
Traité des sections coniques divisé en neuf livres, et qui eut une grande réputation dans l’Europe savante. Dans ce Traité» il s’élève des propriétés du cercle, base du cône, aux propriétés analogues des sections de la surface par un plan tout à fait quelconque, et l’on peut, à juste titre, regarder cet habile géomètre comme un continuateur de Pascal et de Desargues. Son Mémoire sur les épicycloïdes, sa théorie des roulettes et son Traité de Gnomonique méritent d’être rappelés. C’est à lui qu’on doit la théorie du pôle et de la polaire, dont Apollonius n’avait connu qu’un théorème, et la transformation homologique, qui, employée ensuite par Newton, a été retrouvée de nos jours d’une autre manière et développée avec un rare talent par Poncelet dans son beau Traité clés propriétés projectives des figures (*), où l’on trouve les applications les plus intéressantes et les plus variées de cette théorie.
En résumé, trois sortes de Géométrie s’offraient à cette époque aux méditations des savants : la Géométrie des anciens, la Géométrie analytique de Descartes, et une troisième espèce de Géométrie, celle de Desargues et de Pascal, qui devait prendre une si grande extension au xixe siècle et dont on rencontre déjà quelques principes dans les Porismes d’Euclide et les Collections de Pappus. « Cette troisième branche de la » Géométrie, qui constitue aujourd’hui ce que nous appelons » la Géométrie récente , est exempte de calculs algébriques, » quoiqu’elle fasse un aussi heureux usage des relations » métriques des figures que de leurs relations de situation ; » mais elle ne considère que des rapports de distances recti- > lignes d’un certain genre, qui n’exigent ni les symboles ni » les opérations de l’Algèbre. Cette Géométrie est la conti- » nuation de Y Analyse géométrique des anciens, sur laquelle
(*) Deuxième édition, 1 865 ; 2 vol. in-4°, avec planches, chez Gaulhier-Villars.
PRÉFACE
» elle offre d’immenses avantages par la généralité, l’unifor- » mité et l’abstraction de ses méthodes, et par l'usage si utile « de la contemplation des figures à trois dimensions dans les simples questions de Géométrie plane (*). »
La découverte du Calcul infinitésimal à la fin du xvne siècle arrêta à son tour les progrès de la Géométrie. Cette sublime invention, qui suffirait seule pour immortaliser les noms de Newton et de Leibnitz, s’appliqua avec une si grande facilité à la Géométrie des mesures et k l’étude des phénomènes naturels, qu’elle devint presque exclusivement l’objet des travaux des plus illustres géomètres. Toutefois la chaîne ne fut pas entièrement rompue. Newton lui-même, donnant l’exemple, prouva, dans ses admirables Principes de la Philosophie naturelle , que la Géométrie pure se prête aux recherches de l’ordre le plus élevé. Cotes (1682- 1716) et Maclaurin (1698-1746) étudièrent les propriétés générales des courbes géométriques. L’astronome Halley (i656- 1742), par ses belles traductions d’Apollonius et de Ménélaüs ; Simson (1687-1768), par ses écrits sur les coniques, sa restitution de la section déterminée d’Apollonius et sa remarquable tentative de divination des Porismes; Stewart (1717- 1 785 ) , par ses Théorèmes généraux, tâchèrent de ranimer le goût des méthodes anciennes. Mais, en dépit de ces louables efforts, et malgré quelques questions traitées par Euler (1707- 1783), Lambert (1728-1777) et d’autres célèbres analystes, aucune doctrine nouvelle ne surgit jusqu’au xixe siècle, et cette période se distingue surtout par les belles applications que l’on fit de la Géométrie à l’étude des phénomènes naturels.
Au commencement du xixe siècle, la création de la Géométrie descriptive marqua une ère nouvelle dans l’histoire de la
(*) Chasles, Aperçu historique,... Bruxelles, i83".
PRÉFACE
Géométrie. Considérée comme simple doctrine géométrique, indépendamment de son utilité pratique, la Géométrie de Monge fut d’un immense secours dans l’étude des propriétés de l’étendue. En familiarisant l’esprit avec la forme des corps, elle développa notre puissance de conception, éclaira la Géométrie analytique dont elle apprit à interpréter les résultats avec une grande facilité, et permit de raisonner, dans les cas les plus compliqués, sans le secours de ces figures qui, en absorbant l’attention, entravent la pensée. Elle montra l’alliance intime des figures planes et des figures de l’espace, et la science s’enrichit dès lors de ces méthodes élégantes et tant cultivées depuis qui permettent de déduire des propriétés des figures à trois dimensions les théorèmes de la Géométrie plane.
C’est encore à Monge et à son école qu’on doit l’introduction dans la Science d’un mode de démonstration qui, bien que manquant au fond de cette rigueur si justement recherchée des géomètres anciens, a cependant conduit à de magnifiques résultats. Nous voulons parler du principe clés relations contingentes ou de continuité : « Certaines parties d’une figure, » considérées dans un état général de construction, peuvent » être indifféremment réelles ou imaginaires. Or il arrive » souvent que ces parties servent utilement, dans le cas de >> la réalité, à la démonstration d’un théorème, et que cette » démonstration n’a plus lieu quand ces mêmes parties de- « viennent imaginaires. Alors on dit qu’en vertu du principe de » continuité le théorème démontré dans le premier cas s’étend » au second, et on l’énonce d’une manière générale. Quelque- » fois le contraire a lieu, et c’est quand certaines parties d’une » figure sont imaginaires que l’on y trouve les éléments d’une » démonstration facile, dont on applique ensuite les consé- » quences, en vertu du principe de continuité, au cas où ces » mêmes parties sont réelles et où la démonstration n’existe
PRÉFACE
» plus (*). » Tel a été le point de départ de l’introduction des imaginaires en Géométrie; mais nous devons ajouter que cette introduction si importante n’a été accomplie, d’une manière véritablement irréprochable, qu’un peu plus tard par M. Chasles, dont les démonstrations se distinguent par ce caractère spécial, que les objets susceptibles de devenir imaginaires n’y entrent pas sous forme explicite, mais y sont représentés par des éléments réels, de même que les racines d’une équation n’entrent pas elles-mêmes dans les calculs de la Géométrie analytique, mais y sont représentées collectivement par les coefficients de cette équation.
L’apparition de la Géométrie de Monge recula les bornes de la Géométrie pure, un peu délaissée depuis un siècle, et l’on chercha dès lors à obtenir par cette voie seule les nombreux résultats dont l’analyse de Descartes avait enrichi la Science. Parmi les ouvrages entrepris dans ce but et qu’on peut regarder comme l’heureuse continuation de ceux de Desargues et de Pascal, il faut citer au premier rang la Géométrie de position et Y Essai sur les transversales de Carnot, les Développements de Géométrie de Charles Dupin, et le grand Traité des Propriétés projectives des figures dans lequel Poncelet, par l’habile emploi du principe de continuité et la belle création des théories des polaires réciproques et des figures homologiques, a démontré toutes les propriétés connues des lignes et des surfaces du second ordre, et a doté en outre la Science d’une foule de résultats nouveaux. Il convient de signaler encore les savants écrits de Hachette, Brianchon, Gergonne, Dandelin, Quetelet, les travaux de Gaultier, de bteiner et de Gudermann sur la Géométrie de la sphère qu’avaient déjà cultivée Lexell, Fuss, Lhuillier de Genève et
( ) Chasles. Préface de la Géométrie supérieure, i8/j6.
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Mag nus de Berlin; la belle Théorie de la rotation des corps de ! Poinsol; les études de ce géomètre, de Cauchy et de M. Bertrand j sur les polyèdres; enfin les belles recherches de Géométrie ; infinitésimale de M. O. Bonnet.
Les travaux de M. Chasles sont le dernier terme des progrès continus réalisés par la Géométrie depuis soixante ans. Il suffit de citer Y Aperçu historique , la Géométrie supérieure , le Traité des Porismes; les recherches sur Y attraction des ellipsoïdes ; sur les cônes du second ordre , sur les surfaces réglées; le Mémoire sur la dualité et Y homographie, ces deux lois si générales de l’étendue figurée; la nouvelle méthode de détermination des caractéristiques des systèmes de coniques , et
tant d’autres productions de ce maître éminent.
La Géométrie marche donc à grands pas dans une voie féconde. Grâce aux belles conquêtes de notre siècle, elle a regagné sur l’Analyse le terrain perdu.
Après celte rapide excursion dans le domaine de l’histoire, nous devons dire un mot du Traité que nous présentons au lecteur.
Il y a deux manières d'écrire un livre destiné aux éludes : on peut se restreindre aux Programmes officiels et n’en pas franchir le cadre; on peut aussi, en suivant strictement ces Programmes dans ce qu’ils ont d’obligatoire, aller au delà et essayer de les compléter. Pour appliquer une science, il ne suffit pas d’en connaître quelques parties; il faut être familiarisé avec toutes ses méthodes, en saisir l’ensemble. Les magnifiques découvertes de la Géométrie moderne n’ont pas pénétré dans l’enseignement ; délaissées par les Programmes, elles n’occupent pas dans la série des études mathématiques la place qui leur est due; on en parle à peine et accessoire-
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ment en Géométrie analytique, où elles semblent bien à tort être une nouvelle conquête de l’admirable instrument créé par Descartes. Nous sommes loin de reprocher aux Programmes leur silence à cet égard; ils sont tellement chargés, qu’on serait mal venu à réclamer une addition. Mais ne peut-on apprendre un programme d’examen et essayer en même temps de comprendre la portée de la science que l’on étudie, en prenant une connaissance rapide, une vue générale de ses principales méthodes? Telle est la pensée qui nous a guidés dans la composition de cet Ouvrage; c’est aussi celle qui apparaît dans le choix des caractères employées.
Borné aux parties imprimées en caractères ordinaires, l’Ouvrage est entièrement conforme aux Programmes officiels et à leur esprit. Les numéros imprimés en petits caractères contiennent d’utiles développements du texte destinés aux can-
didats aux Ecoles spéciales. Enfin les Appendices sont consacrés à l’exposition des nouvelles méthodes. L’élève studieux les lira à son aise sans se préoccuper de la nécessité de retenir immédiatement tous les détails ; il y puisera une profonde admiration pour la science dont les limites lui apparaîtront si lointaines, un goût des spéculations mathématiques qui donnera à son esprit plus de rectitude et de fermeté; et, à mesure ({lie son savoir gagnera en étendue, par une réaction inévitable, les matières exigées, éclairées par ses nouvelles connaissances, perdront pour lui leur difficulté première.
La Table analytique des Matières indique suffisamment les améliorations nombreuses apportées à cette sixième édition. Nous mentionnerons cependant, en particulier, les développements plus étendus consacrés à l’exposé des différentes méthodes de résolution des problèmes; les premières notions sur l’involution données dès la Géométrie plane; l’étude des faisceaux de cercles; l’examen détaillé de quelques pro-
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blêmes remarquables, devenus classiques. On nous permettra de dire, à cet égard, que nous croyons avoir amélioré l’élégante solution du problème du cercle tangent à trois cercles donnés, due à Gergonne, en la rendant complètement générale et en la débarrassant de toute ambiguïté.
Nous devons ajouter que, depuis quelques années, un grand nombre de géomètres se sont occupés des propriétés du triangle, et qu’un nouveau Chapitre très intéressant a été ajouté par eux à la Science. Nous ne pouvions laisser ces recherches de côté, et nous commencions à les coordonner pour notre nouvelle Édition, lorsque M. J. Neuberg, professeur à l’Université de Liège, et l’un de ceux qui, avec MM. E. Lemoine et IL Brocard, ont le plus contribué à ces découvertes, a bien voulu nous communiquer un travail complet sur ce sujet et en extraire, en notre faveur, la Note III placée à la fin de cette première Partie de notre Traité. Cette Note lui appartient intégralement, et nous nous sommes
bornés à y ajouter quelques indications bibliographiques très succinctes. Nous sommes heureux de témoigner ici notre gratitude à M. J. Neuberg pour son obligeante confraternité
5 scientifique, sans oublier nos éditeurs et amis qui n’ont pas hésité à faire exécuter, pour cette Note complémentaire, des figures très compliquées.
Nous ne pouvons mieux faire, en terminant, que de continuer à remercier nos collègues et nos lecteurs. C’est grâce à eux que nous pouvons poursuivre notre tâche, en maintenant toujours ce Traité à la hauteur des progrès réalisés.
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INTRODUCTION
1. La considération des corps matériels nous suggère l’idée d'étendue ou de volume . Le volume d’un corps est essentiellement limité ; sa limite, qui le sépare de l’espace environnant, prend le nom de surface. Les diverses faces d’un corps sont autant de surfaces dont les limites ou les intersections mutuelles s’appellent lignes. Enfin, on donne le nom de points aux limites ou extrémités d’une ligne, aux intersections mutuelles des lignes.
Ces idées de surface, de ligne et de point, étant une fois acquises par la considération des corps, la surface, la ligne et le point peuvent ensuite être conçus indépendamment du corps, des surfaces et des lignes, dont ils constituent les limites. C’est ainsi qu’on arrive à regarder inversement une ligne comme le lieu des positions successives d’un point mobile, et une surface comme le lieu des positions successives d’une ligne qui se meut suivant une loi déterminée.
On donne le nom de figure à un ensemble quelconque de surfaces, de lignes ou de points.
La Géométrie a pour objet l’étude des propriétés des figures, et en particulier, comme son nom l’indique, la mesure de l’étendue.
