S' = A' + F/ 4- C' - TT

On donne à ce nombre abstrait A' -f- B' H- C' — tt le nom d 'excès sphérique du triangle.

GÉOMÉTRIE DANS l’ ESPACE.

THÉORÈME

850. Si l’on prend l’angle droit pour unité d’angle et le triangle trirectangle pour unité d’aire, l’aire d’un polygone sphérique de n côtés a pour mesure la somme des nombres qui mesurent scs angles, diminuée de 2 {n — 2).

On arrive à ce résultat en décomposant le polygone en triangles à l’aide d’arcs de grand cercle diagonaux issus d’un même sommet, et en appliquant la formule (i) du n° 847 aux (n — 2) triangles ainsi obtenus.

SCOLIE

851. Soient, dans le système d’unités adopté, S, A,, A2, ..., An les mesures de l’aire et des angles d’un polygone sphérique convexe de n côtés; on aura

S = ( A , + A2+ ... -+- AJ — 2 ( // — 2 ) .

Désignons par ana2, . . . , an les nombres qui mesurent les côtés du polygone polaire (811), en prenant pour unité de longueur le quart de la circonférence d’un grand cercle; on aura

Ai=a — a0 A2 — 2 a2 , ..., A„ = 2 -an%

et, par suite,

S = [2 n — [a{ -+- a2 ... -h an) ] — i{n — 2) = 4 - («t + + ••• + «„),

ou enfin, en désignant par/;» le périmètre du polygone polaire,

Ainsi, Y aire d’un polygone sphérique convexe est égale à 4 moins le périmètre du polygone polaire ; cette relation mérite d’être remarquée.

THÉORÈME

852. Le lieu géométrique des sommets G des triangles sphériques, de meme base AB et de meme aire S, se compose de deux arcs de petits cercles symétriques par rapport au plan du grand cercle AB et passant par les points E ci D diamétralement opposés aux extrémités de la base AB (fi g. 466).

Fîr. 466.

En effet, en désignant par A, B, G les angles d’un triangle quelconque