VI. — VOLUME DE LA SPHÈRE

DÉFINITIONS

853.. Pendant que la demi-circonférence xkBy engendre la surface sphérique en tournant autour du diamètre xr, l’arc AB engendre une zone, et les rayons OA et OB engendrent

Fig. 467.

les surfaces latérales de deux cônes de révolution. La portion du volume de la sphère comprise entre les surfaces latérales de ces deux cônes et la zone AB est le secteur sphérique correspondant au secteur circulaire AOB. Un secteur sphérique est donc le volume engendré par la rotation d’un secteur circulaire autour d’nn axe passant par son sommet, situé dans son plan et extérieur à sa surface; la zone engendrée par l’arc du secteur circulaire est la base du secteur sphérique.

854. On appelle segment sphérique la portion du volume de la sphère comprise entre deux plans sécants parallèles. Les cercles déterminés par ces plans parallèles sont les bases du segment sphérique, et leur distance en est la hauteur.

Lorsqu’un des plans parallèles devient tangent à la sphère, le cercle correspondant se réduit à son pôle, et l’on a un segment sphérique à une base.

Si l’on ajoute (fi g. 467) au secteur sphérique AOB les deux

GÉOMÉTRIE DANS LESPACE.

cônes AO<r, BOô, on obtient le segment sphérique compris entre les deux plans parallèles déterminés par la rotation des perpendiculaires A a, B 6, autour de xy. Ce segment sphérique correspond donc à la rotation du trapèze mixtiligne a AB b au* tour du même axe.

855. Lorsqu'un triangle tourne autour d’un axe situé dans son plan et passant par l’un de ses sommets sans traverser sa surface, il engendre un volume qui a pour mesure le produit de l’aire que décrit le côté opposé au sommet fixe, par le tiers de la hauteur relative à ce côté.

Soit le triangle ABC ayant son sommet A sur l’axe xy et AE pour hauteur relative à ce sommet : nous distinguerons trois cas.

i° Supposons l’un des côtés AB du triangle ABC confondu avec l’axe xy. Suivant que la hauteur CD qui correspond au côté AB tombe à l’intérieur (fig. 46$) ou à l’extérieur ( fi g . 469) du triangle ABC, le volume engendré par ce triangle est la somme ou la différence des cônes engendrés par les triangles rectangles ACD, BCD.

En même temps, le cylindre engendré par la rotation du rectangle ABB'A', qui a même base et même hauteur que le triangle donné ABC, est la somme (fi g- 4$$ ) 011 la différence (fig. 469) des cylindres engendrés par la rotation des rectangles ADCA', BDCB', dont le rectangle ABB'A' est lui-même la somme ou la différence. D’ailleurs, le cône ACD est le tiers du cylindre ADCA', et le cône BCD, le tiers du cylindre BDCB' (764). Donc, dans l’un et l’autre cas, le volume engendré par le triangle ABC est le tiers du cylindre AB B' A', et l’on a

vol. ABC ==4ttCD -AB ou vol. ABC ~ 4 ^D .BC. AE, o o