LIVRE VII
LES CORPS RONDS
puisque les produits Cl) . AB elBC.AE représentent tous deux le double de l’aire du triangle donné. Or, tt.CD.BC exprime (756) l’aire latérale du cône BCD ou l’aire de la surface engendrée par le côté BC dans la rotation du triangle ABC. Par suite,
vol. ABC = aire BC~-
2° Supposons {Jïg. 47°) que, le côté AB du triangle n’ayant plus que le sommet A sur l’axe xy, le côté BC prolongé vienne rencontrer i’axc au point D.
Fig. 470.
xk i ) y
HP
Le triangle ABC étant la différence des triangles ACD, ABI), le volume qu’il engendre est la différence des volumes engendrés par ces triangles. On a donc (i°)
AF
vol. ABC = (aireDC — aireDB) — = aireBC •
3° Supposons enfin que le côté AB du triangle n’ayant plus que le sommet A sur Taxe xy, le côté BC soit parallèle à cet axe.
Le volume engendré par le triangle ABC est la somme (fig- 4l 0 ou la différence (Jig. 472) des volumes engendrés par les triangles ABE, ACE. Or, le volume engendré par le
triangle ABE est les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle AB' BE, et le volume engendré parle triangle ACE, les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle AC'CE (764).
Donc, dans l’un et l’autre cas, le volume engendré par le triangle ABC est les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle B'C'CB, somme [fig- 47 0 011 différence ( Jig . 472) des rectangles AB' BE, ÀC'CE; et l’on a encore
vol. ABC = ItTae'-BC = aireBC • Af •
27T.AE.BC exprime en effet l’aire latérale du cylindre engendré par le rectangle B'C'CB ou l’aire de la surface décrite par le côté BC du triangle ABC.
THÉORÈME*
856. Le volume engendré par un secteur polygonal régulier tournant autour d’un diamètre extérieur à sa surface a pour mesure le produit de l’aire que décrit la ligne brisée qui lui sert de base, parle tiers de l'apothème de cette ligne brisée .
Fig. /|7 3 .
Soit [fig. 47^) le secteur polygonal régulier (443) OABCD, tournant autour du diamètre xy. Décomposons ce secteur en triangles, en joignant au centre O les sommets de sa base ABCD, et appelons a l’apothème de cette base. Le volume engendré par le secteur sera la somme des volumes engendrés par les triangles qui le constituent. Or (855)
vol.AOB =:aireAB*^5
vol. BOC — aireBC
vol. COD = aire CD*^®
