i° Quel est le volume du tore

En conservant les notations du n° 895, ce volume a pour expression

2° Trouver la position du centre de gravité d'un clemi-ccrcle de rayon r.

Le centre de gravité cherché appartient évidemment au rayon perpendiculaire au diamètre qui termine le demi-cercle donné. De plus, si l’on fait tourner le demi-cercle autour de ce diamètre, il engendre une sphère de rayon r. On a donc, en appelant x la distance du centre de gravité à l’axe,

- • 277<r=-ÎW, d OU x — - — •

La position du point demandé est donc complètement déterminée.

IL — Sur le maximum et le minimum des figures.

900. Les propriétés qui font l’objet du § 111 de l’Appendice du IVe Livre ainsi que leurs démonstrations s’appliquent aux figures sphériques aussi bien qu’aux figures planes. Toutefois le théorème du n° 481 et son corollaire doivent alors être énoncés comme il suit :

Entre tous les triangles sphériques construits avec deux cotés donnés AB et AC, le triangle maximum est celui dans lequel l'angle A de ces deux côtés est égal a la somme B + C des deux autres {fi g. 440).

Entre tous les triangles sphériques dont la somme AB -h AC de deux côtés est donnée, le triangle maximum est celui dans lequel ces deux côtés sont égaux et comprennent un angle A égal à la somme B -h G des deux autres.

Cette seconde proposition se déduit de la première par un raisonnement semblable à celui du n° 482; il ne reste donc qu’à démontrer la première.

A cet effet, laissons AB fixe; le point C sera alors astreint à rester sur un cercle w ayant A pour pôle et pour rayon sphérique la longueur donnée du côté AC. Par les points E et D symétriques de A et de B par rapport au centre de la sphère, imaginons un plan; le cercle suivant lequel ce plan coupe la sphère rencontre le cercle w en deux points Ci et C2

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

qui sont les sommets de deux triangles Ci A B, C2AB équivalents (832). L’aire de ces triangles augmente avec l’inclinaison du plan du cercle sur le plan EDAB, c’est-à-dire à mesure que les points Ci et C2 se rapprochent l’un de l’autre sur le cercle w; cette aire est donc maximum quand ces deux points se confondent, et par suite le triangle maximum demandé est le triangle ABC obtenu en choisissant le sommet C sur le cercle w de telle sorte que ce cercle w et le cercle circonscrit au triangle DEC soient tangents; mais alors le pôle du cercle DEC est sur EC (822); donc on a C = o, C = 7, E = c? ; et par suite A = 2 — E = 2 — C = 7, B = 2 — D = 2 — (<J -t- 7), d’où, enfin, A= B + C.

901. On peut dire encore que dans le triangle maximum ABC construit avec deux côtés donnés AB et AC, le troisième côté CB est le diamètre spherique du cercle circonscrit ; car, en imaginant l’arc de grand cercle qui partagerait l’angle A en deux parties, l’une égale à B, l’autre égale à C, on voit immédiatement, par les deux triangles isocèles dans lesquels cet arc décompose le triangle ABC, que le point où cet arc coupe BC est équidistant de A, B et C, et par suite est le pôle du cercle inscrit à ABC.

902. Parmi tous les corps de meme aire, la sphère est celui qui a le plus grand volume .

Soit K un corps ayant le volume maximum sous une aire donnée, et 1 la surface qui le limite.

i° La surface 2 est convexe, sans quoi on pourrait augmenter le volume du corps sans augmenter l’aire.

2° Tout plan A qui divise Paire de K en deux parties équivalentes divise aussi le volume en deux parties a et p équivalentes ( fi g . 490); car,

Fig. 490.

si l’on avait, par exemple, a > p, en remplaçant (3 par la figure symé-

LES COUPS RONDS