S.27T.GG

2° Le triangle n’a qu’un sommet situé sur l’axe [fîg. 488).

Prolongeons le côté AC jusqu’à sa rencontre avec l’axe xy. On a vol . ABC — vol . ABD — vol . CBD.

Si g et g, sont les centres de gravité des triangles ABD et CBD, il vient donc, d’après le premier cas,

vol . ABC = 2 TT ( ABD .gg* — CBD .gt g\ ).

Le triangle ABC étant la différence des deux triangles ABD et CBD, son centre de gravité G est le centre des distances proportionnelles des points g , g,, si l’on attribue aux trois points considérés des coefficients proportionnels aux aires des trois triangles correspondants, en donnant à ces coefficients les signes convenables (716). On aura, par suite,

ABD. gg' — CBD . g, g\ = ABC . GG' ;

d’où

vol. ABC = ABC. 277 GG'.

3° L’axe est complètement extérieur au triangle [fig . 489).

Les trois côtés du triangle ne pouvant être parallèles à l’axe, prolongeons le côté AB, par exemple, jusqu’à sa rencontre en D avec l’axe xy, et joignons CD. On aura

vol. ABC = vol.ACD — vol.BCD,

c’est-à-dire, d’après le second cas, en désignant par g et g, les centres

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

de gravité des triangles ACD et BCD,

vol. ABC = 2 tc (ACD .gg' — BCD.

Le triangle ABC, dont le centre de gravité est G, étant la différence

Fig. 489.

des triangles ACD et BCD, on a, comme ci-dessus,

ACD.gg-'— BCD. g-,#', = ABC.GKV;

d’où encore

vol. ABC = ABC.27tGG'.

THÉORÈME

897. Le volume engendré par un polygone tournant autour d'un axe extérieur situé dans son plan a pour mesure le produit de son aire par la circonférence que décrit son centre de gravité .

Décomposons le polygone donné, dont l’aire est S, en triangles ayant pour aires t , t\ t . . . Soient S, S",. . , les distances des centres de gravité de ces triangles à l’axe, et cl la distance du centre de gravité du polygone (716) au même axe. Le volume engendré parle polygone, somme des volumes engendrés par les triangles qui le composent, est

27r(/$ -h t'd1 -+- fS" -+- ...).

Mais, d’après les propriétés du centre des distances proportionnelles, la parenthèse est égale à S .cl. Par suite, le volume cherché a pour expression

S. 2 7 t cl.

Corollaires.

898, Le théorème subsiste, quels que soient le nombre et ia grandeur des côtés du polygone, c’est-à-dire à la limite, quand le polygone ou une partie du polygone devient une courbe. Dans ce cas, le centre de gravité de la surface obtenue est la position limite du centre de gravité de la