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LIS COtU’S RONDS.

La somme des faces d’un angle polyèdre convexe devant être inférieure à quatre angles droits (570), si les faces sont des triangles équilatéraux, on ne peut assembler autour d’un même point, pour former un angle polyèdre, que trois ou quatre ou cinq de ces triangles. On construit ainsi : le tétraèdre régulier compris sous quatre triangles équilatéraux ; X octaèdre régulier, compris sous huit triangles équilatéraux; X icosaèdre régulier, compris sous vingt triangles équilatéraux. Au delà, six triangles équilatéraux assemblés autour d’un même point donnent six angles plans dont la somme est égale à quatre angles droits; il n’y a plus d’angle polyèdre : les six triangles se trouvent développés dans un même plan.

On ne peut employer les carrés et les pentagones réguliers qu’en les assemblant par trois, puisque l’angle d’un carré est droit et que celui d’un pentagone régulier est égal à f d’angle droit. On a ainsi X hexaèdre régulier ou cube, compris sous six carrés égaux, et le dodécaèdre régulier, compris sous douze pentagones réguliers.

Aucun autre polyèdre régulier convexe n’est possible, puisque, l’angle d’un hexagone régulier étant égal à d’angle droit, trois angles d’hexagone régulier font en somme quatre angles droits.

Nous prouverons l’existence des cinq polyèdres réguliers énoncés, en montrant comment on peut effectuer leur construction.

PROBLÈME