Construire un polyèdre régulier, connaissant son arête

La construction du tétraèdre régulier {fl g. 492) et celle du cube [fig. 4q3) ne peuvent offrir aucune difficulté, d’après ce qui a été dit aux n03 591 et 645. Nous ne nous occuperons que de l’octaèdre, du dodécaèdre et de l’icosaèdre.

Fi{T. /l92. Fipr. 4g3.

Octaèdre régi . lier.

Prenons [fg. 494) un carré ABCD de côté a . Élevons en son cenlre O

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

une perpendiculaire indéfinie, et portons de part et d’autre du point O sur cette perpendiculaire une longueur égale au rayon du carré ABCD, c’est-

à-dire à • Enjoignant les points S et S' ainsi obtenus aux sommets

Fhï- 49/l*

A, B, C, D, on forme un octaèdre régulier SABCDS'. En effet, les huit arêtes SA, SB, . . . , S' D sont égales entre elles et à

V'œ+ÔA = + ~ = «■ •

Les huit faces du polyèdre construit sont donc des triangles équilatéraux égaux. De plus, les six angles polyèdres sont égaux entre eux ; car les angles S et B, par exemple, sont les angles au sommet de deux pyramides quadrangulaires régulières SABCD, BASCS', évidemment superposables comme ayant même base et même hauteur.

On peut résumer la construction de l’octaèdre régulier en remarquant que trois droites égales et perpendiculaires entre elles en leur milieu, telles que AG, BD, SS', ont pour extrémités les six sommets d’un pareil polyèdre.

Dodécaèdre régulier.

Soit [fig. 495 ) un pentagone régulier ABCDE de côté a. Prenons d’autres pentagones réguliers de côté a. Avec deux de ces pentagones joints au pentagone ABCDE, formons en A un angle trièdre qui, ayant ses faces égales, aura aussi ses angles dièdres égaux. Les trois côtés BA, BC, BH déterminent alors un angle trièdre B, égal à l’angle trièdre A, comme ayant un angle dièdre égal compris entre deux faces égales entre elles et chacune à chacune. On peut donc former à tous les sommets du penta-