LIVRE VII

sphère, sa rencontre avec l’angle trièdre SAOL déterminera un triangle sphérique aol , rectangle en /.

Fis- 499-

Soient, dans le polyèdre considéré, n le nombre de côtés de chaque face, ni le nombre d’arôtes de chaque angle polyèdre. On aura évidemment

angle aol = angle AOL =~ = -,

anel eoal = angle O AL =

‘Ain

ni

Le triangle sphérique rectangle aol donne d’ailleurs

cos oal = cos ol. sin aol.

Mais

cos ol = cosOSL = sinOLS = sin - 1.

On a donc la formule générale

cos —

Sin - I = - <

sin —

En l’appliquant aux différents polyèdres réguliers convexes, on trouve pour l’inclinaison I les valeurs suivantes :

Tétraèdre régulier . 70°3i'43",6

Hexaèdre régulier . 90°

Octaèdre régulier . io9°28'i6",4

Dodécaèdre régulier . i iG°35'54'/,2

Icosaèdre régulier . i38H i'22",75

Les valeurs indiquées sont exactes pour l’hexaèdre et l’icosaèdre, ap-

GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACS.

r — -«eût- tang-1.

prochées pour les trois autres polyèdres. Les inclinaisons des faces du tétraèdre et de l’octaèdre régulier sont supplémentaires l’une de l’autre.

20 Soient a le côté du polygone donné, r son apothème, R son rayon. Le triangle OLA donne

OL = AL cot AOL = - a cot - »

Le triangle rectangle SOL donne à son tour

SO = OL tangOLS,

c’est-à-dire

Le triangle sphérique aol donne enfin

COS oa — cot aol. cot oal.

Or

On a donc

On en déduit (2)

cos oa — cos OSA —

SO

SA

^ = tan g aol. tangos/ SO 0 0

- = tang- tang — •

& n 0 ni

R - a tang — tang -!.

^ ni D o

En appliquant les formules (1) et (2) aux différents polyèdres réguliers convexes, on obtient les valeurs suivantes:

Tétraèdre régulier .

Hexaèdre régulier. . . .

Octaèdre régulier .

Dodécaèdre régulier. . . . . .

Icosaèdre régulier ........