LIVRE VII

LES CORPS ROiNDS.

ABC' D'E', lieux respectifs des points à égale distance de leurs sommets, secouperonf en un point S, car elles sont situées dans le plan OIvO' perpendiculaire à AB au point K. Les deux triangles rectangles KOS, KO'5 seront d’ailleurs égaux entre eux, puisqu’ils ont l’hypoténuse KS commune et le côté KO égal au côté KO' comme apothèmes de deux polygones réguliers égaux. L’angle OKO' mesurant l’inclinaison constante de deux faces adjacentes du polyèdre, l’angle OKS égal à l’angle O' KS sera la moitié de cette inclinaison, et le triangle KOS sera, par suite, constant pour toutes les faces.

Si l’on considère une troisième face O", contiguë à la face ABCDE par le côté CD dont le milieu est L, la perpendiculaire élevée à cette face par son centre O" coupera donc la droite OS au point S, de manière que le triangle LO" S soit identique au triangle KOS ou à son égal OLS.

En continuant de proche en proche, on voit que les perpendiculaires élevées aux différentes faces du polyèdre par leurs centres se coupent mutuellement en un même point S, situé à la même distance de toutes les faces et à la même distance de tous les sommets.

Donc la sphère de centre S et de rayon SA passe par tous les sommets du polyèdre régulier ou lui est circonscrite ; la sphère de môme centre S et de rayon SO est tangente à toutes les faces du polyèdre en leurs centres ou lui est inscrite.

Le point S est le centre du polyèdre régulier; SA est son rayon, SO son apothème .

Corollaires.

909. Si l’on décompose un polyèdre régulier en pyramides en prenant pour centre de décomposition le centre même du polyèdre, les pyramides obtenues sont régulières : Tout polyèdre régulier peut donc être partage en autant de pyramides régulières quil a de faces.

Les faces latérales de ces pyramides étant prolongées décomposent évidemment la sphère inscrite ou circonscrite en autant de polygones sphériques réguliers égaux que le polyèdre considéré a de faces.

Le volume d'un polyèdre régulier a pour mesure le produit de son aire par le tiers du rayon de la sphère inscrite (046).

Deux polyèdres réguliers de même ordre étant nécessairement semblables, le rapport des côtés, des aires ou des volumes de ces polyèdres est aussi celui des rayons, des carrés ou des cubes des rayons des sphères inscrites ou circonscrites .

910. Les centres des faces d'un polyèdre régulier sont les sommets d’un autre polyèdre régulier conjugué du premier [fig. 498 ) .

Soient A l’un des sommets du polyèdre donné et S le centre commun

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

des sphères inscrite et circonscrite à ce polyèdre. Désignons par O, O', O",... les centres des faces réunies autour du point A. Ces points,

Fig. 498.

étant également distants des points S et A, sont situés dans un même plan perpendiculaire à SA en un point qui est le centre du cercle circonscrit au polygone 00' 0".... De plus, L étant le milieu du côté AB, le triangle OLO' est constant, et le polygone inscrit OO'O"... ayant ses côtés égaux est régulier. Le polyèdre formé en joignant les centres des faces du polyèdre proposé a donc déjà pour faces des polygones réguliers égaux, et le nombre de ces polygones est égal à celui des sommets du polyèdre donné. Il reste seulement à prouver que ces polygones sont également inclinés. Or, si l’on considère les deux faces du nouveau polyèdre qui s’appuient sur le côté 00', l’angle dièdre qu’elles comprennent est le supplément de l’angle constant ASB des deux perpendiculaires SA et SB à ces deux faces.

La réciproque de ce théorème est évidente.

On voit qu’en appliquant la construction indiquée sous l’une ou sous l’autre forme, le tétraèdre régulier conduit à un nouveau tétraèdre; l’hexaèdre régulier à un octaèdre régulier, et, réciproquement; le dodécaèdre régulier à un icosaèdre régulier, et réciproquement ; ce qui justifie la dénomination de conjugué s donnée à ces polyèdres (907).

, J PROBLÈME

911. JJn polyèdre régulier convexe étant donné, trouver : i° V inclinaison de deux faces adjacentes; 20 les rayons des sphères inscrite et circonscrite .

i° Soient [fig. 499) S le centre de la sphère inscrite ou circonscrite, AB le côté commun aux deux faces adjacentes dont les centres sont 0 et 0', L son milieu : l’angle OLO' mesure l’inclinaison cherchée I.

AB étant perpendiculaire au plan OLO', les plans OLO' et ASB sont perpendiculaires. Par suite, si du point S comme centre nous décrivons une

LES CORPS RONDS