LIVRE

LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

gles BAD, DÀC, qui, d'après le premier cas, ont respectivement pour mesure y BD et y DC. La somme de ces deux arcs, c’est-à-dire la moitié de i’arc BDC, est donc la mesure de l’angle BAC.

3° Le centre O tombe en dehors de l’angle BAC [Jig. 90). Menons le diamètre AOD; l’angle BAC est la différence des angles BAD, CAD, qui, d’après le premier cas, ont respectivement pour mesure y BD et { CD; la différence de ces arcs, c’est-à-dire la moitié de l’arc BC, est donc la mesure de l’angle proposé BAC.

Corollaires.

130. Supposons [Jig, 90) que, le côté AC restant fixe, la corde AB tourne autour du sommet A, de manière à devenir la tangente AT au point A; dans toutes les positions de la corde AB, l’angle inscrit BAC aura pour mesure la moitié de l’arc correspondant BC; donc, à la limite, l’ angle T AC, formé par une tangente AT et une corde AC issue du point de contact, a pour mesure la moitié de V arc AC compris entre ses côtés .

On peut d’ailleurs démontrer ce théorème, indépendamment de toute notion de limite. Il suffit, par exemple, d’observer que l’angle TAC est l’excès de l’angle droit TAD sur l’angle inscrit CAD; sa mesure est donc l’excès de la moitié de la demi-circonférence ABD sur la moitié de l’arc CD, ou enfin la I moitié de l’arc AC.

131 . On appelle segment la portion de cercle comprise entre un arc et sa corde. A chaque corde AB correspondent deux segments ACB, AMB {Jig. 91). On dit qu’«/z angle est inscrit

Fig- 91-

dans un segment lorsque son sommet est situé sur l’arc du R. et de C. — Tr. de Ge'om. (I1® Partie). 5

GÉOMÉTRIE PLANE

segment et que ses côtés passent par les extrémités de la corde sous-tendante. Ainsi les angles ACB, AEB, sont inscrits dans le segment ACB, et l’angle AMB est inscrit dans le segment AMB.

Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux ; ainsi, les angles ACB, AEB, sont égaux comme ayant l’un et l’autre la moitié de l’arc AMB pour mesure.

Tout angle inscrit dans T un des deux segments déterminés par une même corde est le supplément d'un angle quelconque inscrit dans Vautre segment. Ainsi les angles ACB, AMB, sont supplémentaires, car leurs mesures ~ arc AMB et { arc ACB forment en somme la moitié de la circonférence.

7'uut angle inscrit dans un segment est aigu, droit ou obtus, suivant que ce segment est supérieur , égal ou inférieur à un demi-cercle ; car l’arc compris entre les côtés de l’angle est alors inférieur, égal ou supérieur à une demi-circonférence.

On dit qu’w/r segment de cercle est capable d’un angle donné , lorsque les angles inscrits dans ce segment sont égaux à l’angle considéré; ainsi le segment capable d’un angle droit est un demi-cercle.

Fig. 92.

Fig. o3.

132. Tout angle BAC, formé par deux sécantes qui se rencontrent à l’ intérieur du cercle, a pour mesure la demi-somme des arcs BC et DE compris entre ses côtés et entre ses côtés prolongés {f g. 92).

En effet, en menant DC, on voit que l’angle BAC, extérieur au triangle ACD, est égal (73) à la somme des angles inscrits ADC, ACD, qui ont respectivement pour mesure ~ BC et ’ DE.