LIVRE II

LA CI U CONFÈRENCE DE CERCLE

Corollaire.

126. 1! résulte de là (note i) que, dans le même cercle ou dans des cercles égaux, le rapport de deux angles au centre est égal au rapport des arcs qu'ils interceptent ; en d’autres ermes, l'angle au centre d'un cercle est proportionnel à l’arc correspondant.

THÉORÈME

127. Tout angle a la même mesure que l'arc qu’il intercepte sur une circon férence décrite cle son sommet comme centre , avec un rayon quelconque, pourvu que Ton prenne pour unité l’angle T angle au centre qui intercepte sur cette circonférence y arc choisi pour unité d'arc .

En effet, soient {fig, 87) AOB l’angle à mesurer et AB l’arc ^ u’ il intercepte sur la circonférence de rayon arbitraire OA; \C étant l’unité d’arc, l’angle correspondant AOC sera, par [hypothèse, l’unité d’angle. On a (126)

AOB arr AB AOC arc AC

Or le premier rapport est égal au nombre qui mesure l’angle AOB, et le second est égal au nombre qui mesure l’arc AB. Donc, dans le système d’unités adopté, le nombre qui mesure l’angle AOB est le même que celui qui mesure l’arc AB.

Comme ce théorème est d’un usage très-fréquent, 011 pré-

GÉOMÉTRIE PLAISE

fère i’énoncer d’une manière plus rapide, quoiqueincorrecte. D’abord on sous-entend la condition relative à la correspondance des unités; puis on dit a pour mesure , au lieu de a la même mesure que; et l’on arrive ainsi à cet énoncé usuel : tout angle au centre a pour mesure l’arc compris entre ses côtés.

ScOLIE.

128. Lorsqu’on prend l’angle droit pour unité, l’arc unité est le quart de la circonférence ou le quadrant; car, si l’angle au centre AOB est droit ( fig . 87), les quatre angles ÀOB, BOC, COD, DOA, formés par les deux diamètres BOD, AOC, sont droits, et par suite égaux; les quatre arcs AB, BC, CD, DA, sont donc égaux entre eux, et chacun d’eux est le quart de la circonférence.

THÉORÈME

129. Tout angle inscrit dans un cercle a pour mesure la moitié de l’arc compris entre ses côtés.

Soit BAC un angle inscr it dans un cercle O. Pour démontrer que cet angle a pour mesure la moitié de l'arc BC compris entre ses côtés, il convient de distinguer trois cas :

i° Le centre O tombe sur l’un des côtés AC de l’angle BAC; (fig* 68). Menons le rayon BO; le triangle BOA étant isocèle, les angles A et B sont égaux, et comme (73) leur somme équivaut à l’angle extérieur BOC, l’angle A est égal à la moitié de BOC; mais ce dernier angle, ayant son sommet au cenlrej du cercle, a pour mesure l’arc BC. Donc l’angle proposé BAC a pour mesure la moitié de l’arc BC.

Fig. 88. Fig. 89. Fig. 90.

20 Le centre O tombe à l’intérieur de l’angle BAC [jig- 89) Menons le diamètre AOD ; l’angle BAC est la somme des an