LIVRE VII. — LES CORPS RONDS
nombre de faces de son angle polyèdre; mais, pour qu’il en soit ainsi, ces polygones égaux doivent pouvoir former un angle polyèdre.
« II est clair que cette construction appliquée au tétraèdre ne donne rien. » Chaque sommet de l’octaèdre appartient à deux carrés, lesquels ne » peuvent évidemment pas former les faces d’un polyèdre.
» Chaque sommet du cube peut former, avec deux autres sommets con- » venablement choisis, un triangle équilatéral, et cela de trois manières j» différentes; mais ces trois triangles appartiennent à un tétraèdre régulier.
I» Chaque sommet du dodécaèdre régulier peut, de trois manières dif- » férentes, former des triangles équilatéraux avec des sommets apparte- » nant à deux des faces qui s’y réunissent; mais ces triangles ne feront » pas un angle polyèdre, deux d’entre eux n’ayant jamais d’arête commune.
» Chaque sommet du dodécaèdre régulier peut également être consi- » déré comme le sommet de six triangles équilatéraux dont les autres » sommets appartiennent à des faces contiguës à celles qui contiennent » le sommet donné. Mais ces six triangles équilatéraux sont les faces de » deux tétraèdres réguliers.
» Chaque sommet du dodécaèdre est enfin le sommet commun de trois » pentagones réguliers dont les quatre autres sommets appartiennent au » même polyèdre. Ces trois pentagones ne forment pas les faces d’un :> angle trièdre, parce que deux d’entre eux n’ont pas d’arête commune; » mais les pentagones étoilés qui ont les mêmes sommets forment un » angle trièdre, et leur ensemble, pour tout le polyèdre, forme le dodé- » caèdre régulier (de septième espèce).
» Chaque sommet de l’icosaèdre est le sommet commun de cinq trian- » gles équilatéraux ayant pour côtés les droites les plus courtes que Von » puisse mener entre les sommets, après celles qui forment les côtés des » laces. Ces triangles forment l’icosaèdre de septième espèce.
, » Chaque sommet de l'icosaèdre peut être considéré comme le sommet » commun de cinq pentagones réguliers de -première espèce, dont les quatre autres sommets appartiennent également à l’icosaèdre; ces pen- » tagones sont les faces du dodécaèdre de troisième espèce (à faces con- » vexes). Enfin les mêmes sommets peuvent être considérés comme » appartenant à des pentagones étoilés qui forment le dodécaèdre (de » troisième espèce, à faces étoilées).
» Il n’y a donc en tout que quatre polyèdres étoilés, qui sont précisô- •» ment ceux que M. Poinsot a découverts. » (J. Bertrand, loc. cit .)
Nous croyons devoir ajouter ici le raisonnement suivant, dû à VI. Kœnigs, pour prouver que le dodécaèdre ne fournit qu’un polyèdre étoilé et que l’icosaèdre n’en donne que trois.
D’après ce qui précède le dodécaèdre ne peut donner que des polyèdres étoilés à sommets trièdres.
GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
Or, parmi les plans passant par A ( fïg. 499 bis), le plan (AL, A'L') déterminé par les deux arêtes AL, A'L' joignant des couples de points diamétralement opposés A et A', L et L', est un plan de symétrie du dodécaèdre; et, il y a en chaque sommet A de ce corps trois plans de symétrie tels que le précédent.
Un plan de symétriedu polyèdre primitif é tant un plan de symétrie du polyèdre dérive', nous allons chercher à formerai! sommet Auntrièdre admettant le plan (AL, A'L') pour plan de symétrie et ayant par suite une arête dans ce plan, tandis que la face opposée est perpendiculaire à ce plan.
Pour cela, nous ferons tourner un demi-plan autour d’une droite menée par A perpendiculairement au plan de symétrie; et, en considérant les positions du plan contenant des sommets du polyèdre primitif, nous chercherons à former avec ces sommets des polygones réguliers pouvant être pris pour faces d’un polyèdre dérivé.
Fig- 499 bis-
Le plan est supposé tourner vers l’arrière de la figure (1). Voici le tableau de ses positions successives :
Première position. — Le plan contient, outre A, le sommet L seul.
Deuxième position. — Le plan est AMQ'. Le triangle AMQ' est équilatéral; les deux autres sont AP'D, ACN; ils n’ont pas d’arête commune.
Troisième position. — Le plan est AG'D'. Le triangle AC'D' n’est pas équilatéral.
Quatrième position. — Le plan est AP'N ; il contient aussi B' et E', car les arêtes LA, Q'P', C'B', D'E', MN sont également inclinées sur la face LQ'C'D'M. Les sommets A, N, E', B', P' forment un pentagone semblable au pentagone qui forme la face du dodécaèdre primitif. Les trois penta-
( 1 ) L, N, Q, M', P' sont dans un même plan; L', IN', Q', M, P sont dans un autre; aucun de ces plans ne contient le centre O qui est dans un plan parallèle intermédiaire.
