LIVRE VII

LES CORPS RONDS

gones convexes formés de la sorte autour de A ont deux à deux en commun deux sommets non consécutifs; ils ne peuvent pas former un angle polyèdre; mais, par la même raison, les pentagones étoilés ayant les mêmes sommets ont deux à deux une arête commune et donnent le dodécaèdre étoilé (de septième espèce).

Cinquième position. — Le plan est AN'P. Le triangle AN' P est isocèle, mais on peut démontrer que N'P est plus grand que AP.

Sixième position. — Le plan est AM'Q. Le triangle AM'Q n’est pas iéquilatéral, car M'Q est égal à AD, lequel est inférieur à AM'.

Septième position . — Le plan est ABCDE; c’est la face même du dodécaèdre primitif.

A partir delà, le demi-plan, en achevant sa rotation, ne rencontre plus aucun sommet.

Le dodécaèdre ne peut donc fournir qu’un polyèdre étoilé.

Nous laissons au lecteur le soin d’appliquer le même raisonnement à l’icosaèdre; la chose est encore plus simple, et l’on reconnaît de la sorte que l’icosaèdre ne donne que trois polyèdres étoilés.

PROBLÈME