SA ~ SB ~ SC

k étant un nombre quelconque, on dit que le nouveau système de points A', B', C', ... est homothétique au système primitif ABC. . . , Suivant que le rapport k (V homothétie est positif ou négatif, les points homologues tels que A et A' sont situés d’un même côté ou de côtés différents par rapport au centre S (V homothétie, et les deux Systèmes ABC..., A'B'C'... sont dits homothétiques directs ou homothétiques inverses.

La définition de l’homolhétie est donc la même pour les figures de l’espace et pour les figures planes (354). Toutefois, il n’est plus vrai de dire ici, comme dans le plan, que l’homothétie inverse donne, abstraction faite de la position, les memes figures que l’homothétie directe; F étant une figure quelconque de l’espace, si l’on construit, à l’aide d’un centre S arbitraire, la figure homothétique directe F' suivant le rapport k et la figure homothétique inverse F,, suivant le rapport — k, les deux figures F' et Fi seront symétriques par rapport au point S (658). Or on ne peut, plus faire coïncider deux pareilles figures (673), tandis que dans le plan une rotation de 180 degrés autour du point S entraînait la coïncidence (354),

931. La figure homothétique d’une sphère est une sphère ; la démonstration est la môme que celle du n° 355. Bar suite, comme un cercle peut toujours être considéré comme l’intersection de deux sphères, la figure homothétique d’une circonjérence par rapport ci un point quelconque de l’espace est une circonjérence .

932. Le théorème du n° 356 et sa démonstration subsistent. La figure homothétique d'une droite est une droite parallèle à la première, et l’angle de deux droites est égal a celui de leurs droites homologues ( 357, 358)

2ÔO

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

La figure homothétique d'an plan est un plan parallèle au premier , car, si l’on considère dans le plan donné une droite qui tourne autour d’un point A, dans chacune de ses positions cette droite aura pour homothétique une droite parallèle passant par un point fixe A' homothétique de A. Il résulte de là : i° qu 'un plan qui passe par le centre iVhomotliétie esta lui- meme son homothétique ; 2° que l'angle de deux plans est égal à l'angle de leurs homothétiques.

Les tangentes en deux points homologues île deux courbes homothétiques sont parallèles , comme limites de sécantes parallèles. Par suite (883), les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces homothétiques sont parallèles .

933. Deux systèmes sont homothétiques, s’il existe dans l'espace deux points 0 et 0' tels, que les droites qui joignent le point 0 aux divers points du premier système, et les droites qui joignent le point 0' aux divers points du second système, soient parallèles et dans un même rapport k ; la démonstration est la même qu’au n° 360.

Il résulte de là que deux sphères quelconques sont à la fois homothétiques directes et homothétiques inverses (362 ) ; les deux centres d’homothétie divisent harmoniquement la ligne des centres des deux sphères; ces centres sont en outre les sommets des deux cônes qu’on peut circonscrire aux deux sphères. Lorsque les deux sphères sont tangentes, leur point de contact est un centre d’homothétie, directe si le contact est intérieur, inverse si le contact est extérieur.

934. Le théorème du n° 363 et sa démonstration subsistent. Ainsi, deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux, et les trois centres d’homothétie sont sur une même ligne droite , qu’on nomme axe d’homothétie des trois systèmes.

Trois sphères considérées deux à deux ont trois centres d’homothétie directe et trois centres d’homothétie inverse (933). Elles ont donc quatre axes d’homothétie : un axe d’homothétie directe qui contient les trois centres d’homothétie directe, et trois axes d’homothétie inverse qui renferment chacun deux centres d’homothétie inverse et le centre direct qui répond au troisième centre inverse. Ces quatre axes d’homothétie sont ceux des trois cercles (366) que l’on obtient en coupant les trois sphères par le plan qui passe par leurs centres.

935. Lorsque quatre systèmes P, P', P", P'" sont homothétiques deux à deux, leurs six centres d’homothétie sont situés dans un même plan.

En effet, soient respectivement 0,, 02, 03, les centres d’homothétie do P et P', de P et P", de P et P'" ; le plan 0, 02 03 est à lui-même son homologue dans les systèmes P et P', puisqu’il contient leur centre O,; il est