LIVRE VII

LES CORPS RONDS

aussi à lui-même son homologue dans les systèmes P et P", puisqu’il contient leur centre 02. Donc ce môme plan est encore à lui-même son homologue dans les systèmes P' et P" (934); et, par suite, il contient leur centre d’homothétie. On prouverait de même que ce plan passe par les centres d’homothétie de P' et P"'T et de P" et P'".

Ces six centres d'homothétie sont les sommets d’un quadrilatère complet dont les côtés sont les quatre axes d’homothétie des quatre systèmes proposés pris trois à trois. Le plan de ce quadrilatère reçoit le nom de j)lan d'homothétie des quatre systèmes P, P', P", P'".

936. Considérons en particulier lecrzv de quatre sphères. Comme deux sphères sont à la fois homothétiques directes et homothétiques inverses, on aura douze centres d'homothétie , dont six directs et six inverses. Il est aisé de voir qu’il y a huit plans d'homothétie. En effet, imaginons le tétraèdre dont les sommets sont les centres des quatre sphères ; sur chaque face de ce tétraèdre, il y a six centres d’homothétie, trois directs et trois inverses (934). Considérons l’un O des six centres qui sont sur l’une des faces; ce point O appartient à deux droites A et B dont chacune passe par deux autres centres de la même face. D’ailleurs, ce même point O est commun à une autre face du tétraèdre, et, par suite, il appartient également à deux autres droites Cet D situées sur cette seconde face. En combinant les deux droites A et B de la première face avec les deux droites C et D de la seconde, on obtient quatre plans, AOC, AOD, BOC, BOD, dont chacun passant par cinq centres d’homothétie renferme nécessairement le sixième centre correspondant. Ainsi, par chaque centre O de la première face, passent quatre plans d’homothétie; mais chacun de ces plans est commun à trois centres de cette même face. Donc le nombre total des plans d’homothétie est égal à huit.

937. Deux figures de l’espace sont semblables lorsque, par un déplacement convenable, on peut amener la seconde sur l’une des homothétiques directes de la première. Or, d’après le n° 939, pour avoir tous les systèmes homothétiques à un système donné, il n’est pas nécessaire de faire varier le centre; il suffit, en prenant un centre arbitraire, de faire varier X- de o à & (364). Donc on obtiendra toutes les figures semblables à une figure donnée, en construisant, avec un centre pris à volonté, les surfaces homothétiques qui répondent à toutes les valeurs du rapport X, depuis zéro jusqu'à l’infini.

Ainsi deux sphères quelconques sont semblables ( 93 1 ).

La seule figure semblable ci une surface conique est cette surface conique elle-même; car, si l’on prend le sommet O pour centre d’homothétie, l’homologue A' d’un point quelconque A de la surface conique proposée est situé sur la génératrice OA.

262 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Enfin deux surfaces cylindriques sont homothétiques lorsque leurs génératrices sont parallèles , et leurs directrices deux courbes homothétiques; car la figure homothétique d’une droite est une droite parallèle. Par suite, les sections par un meme plan de deux cylindres homothétiques sont deux courbes homothétiques dont le centre est à la rencontre du plan sécant et de la parallèle aux génératrices menée par le centre d’homothétie des deux cylindres.