SPHÈRE TANGENTE A QUATRE SPHÈRES DONNEES

960. Supposons le problème résolu et soit X une sphère tangente à quatre sphères données Si, S2, S3, S4 dont nous désignerons le centre radical par O (fig. 5o4 bis).

Si l’on fait l’inversion de la figure en prenant pour centre d’inversion le point O et pour coefficient d’inversion la puissance de O par rapport à chacune des sphères données, chacune de ces sphères se transformera en elle-même, et la sphère X', inverse de X, sera une seconde sphère tangente à Sl5 S2, S3, S4; d’ailleurs les points de contact^, «'2, a'3, a\ de X' avec Si, S2, S3, S4 sont situés respectivement sur les droites O «1, 0<22, O a3, 0«4 qui joignent le point O aux points de contact ciu «2, a3, <?4 de X avec Si, S2, S3, S4.

Les puissances de O par rapport à Si et à X étant respectivement les mêmes que celles de O par rapport à S2 et à X, il résulte du n° 957 que les contacts en «2 et en a2 sont semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en ax et en a\ . Par suite les couples de sphères Si et S2, X et X' satisfont aux conditions du n° 931 (3°) ; O est donc un centre de similitude de X et de X', et le point de concours w12 de axa^ et de a\ a'2 est à la fois un centre de similitude de Si et de S2 et un point du plan radical R de X et de X'. De même, le point do concours w13 de axa3 et de a\ a’3 et le point de concours &>14 de «i«4 et de a\ a\ sont respectivement des centres de similitude de Si et de S3, de Si et de S4, et appartiennent au plan R. Par suite, le plan radical R de X et de X' est un plan de similitude des quatre sphères données.

Il suit de là que les centres x et x! des sphères X et X' sont situés sur la perpendiculaire CCLX, abaissée de O sur le plan de similitude w 12 w13«I4, puisque la droite xx’ doit passer par le centre de similitude O de X et de X' et être perpendiculaire au plan radical de ces deux sphères.

Enfin les points ax et a\ des sphères X et X' étant antihomologues, puisqu’ils se correspondent par inversion, les plans tangents en ax et a\ ont leur intersection Li dans le plan radical R (951, i°); mais L! et axa\ étant réciproques par rapport à la sphère S j , la droite ax a\ contient le pôle, par rapport à la sphère St, du plan R qui passe par Li (946).

On est ainsi conduit à la conclusion suivante :

S* il existe une sphère X tangente à quatre sphères données Si, S2, S3, S4, il existera une seconde sphèreléé jouissant de la meme propriété. Ces deux sphères associées X et X' touchent respectivement la sphère Si aux points ax et a\ où cette sphère rencontre la droite Opx qui joint le centre radical O des sphères données au pôle px, par rapport à Si, de

l’un des plans Pi de similitude des memes sphères. Les centres x et xr de X et de X' seront les points où les droites cpd joignent le centre *1 de Si aux points «1 et a\ rencontrent la perpendiculaire OZi abaissée de 0 sur le plan de similitude considéré Pt.

Comme il y a huit plans de similitude (936) des quatre sphères données, on voit que le nombre des couples de sphères tangentes à quatre sphères données est au plus égal à huit.

Pour qu’un tel couple existe, il faut évidemment, d’après ce qui précède, que la droite O pi, qui répond au plan de similitude considéré, coupe la sphère St. Cette condition est d’ailleurs suffisante : en d’autres termes, si la droite 0/>i, qui joint le point O au pôle p y, par rapport à Si, d’un plan de similitude Pi des sphères données , coupe Si en deux points ai et a\ , et si x et x' sont les points où sxax et sxa\ rencontrent la perpendiculaire OZi abaissée de O sur le plan P1} les sphères X et .V décrites , l’une du point x comme centre avec xax pour rayon, l’autre du point x' comme centre avec x' a\ pour rayon , toucheront Lune et Vautre les quatre sphères données Si, S2, S3, S4.

Fig. 5o4 bis.

En effet :

D’abord, la sphère X touche Si au point ax puisque le point ai est commun aux deux sphères X et Si et se trouve en outre sur la ligne des centres Six. De même la sphère X' touche Si au point a\ . Il reste à prouver que X et X' touchent l’une et l’autre les sphères S2, S3, S4, ou même simplement que X et X' touchent S2, car le même raisonnement subsistera pour S3 et pour S4.

Or, désignons par a2 et a'2 les points de S2 qui sont antihomologues de «1 et a\ par rapport à celui w12 des deux centres de similitude de Si et de S2 qui est dans le plan de similitude considéré Pi. Il existe