LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

(9ol, 20) une sphère Y touchant respectivement Si et S2 en et en «2, ainsi qu’une sphère Y' touchant respectivement Si et S2 en a\ etenr4. Le centre y de Y est à la rencontre de sxax et de s2a2 et le centre y' de Y' à la rencontre de xta\ et de s2 a\ . Si wJ2 est un centre de similitude directe de Si et de S2, les contacts en at et ci2 seront semblables ainsi que les contacts en a\ et c/2 ; au contraire, si w12 est un centre de similitude inverse, les contacts en av et a2 seront dissemblables ainsi que les contacts en a\ et a'.,. Les contacts en a\ et a'2 sont donc semblables ou dissemblables en même temps que les contacts en ax et a2. Par suite, les sphères Y et Y' et les sphères Si et S2 satisfont aux conditions du n° 931 (3°), et l’on peut énoncer les propositions suivantes : i° l’intersection de ala\ et de a2a'2 appartient au plan radical de Si et de S2, et comme ciia\ coupe ce plan radical en O, la droite a2 d2 passe par O; ■2° le point O est un centre de similitude de Y et de Y', et, par suite, les trois points j, y\ O sont en ligne droite; 3° le point wJ2 appartient au plan radical R de Y et de Y'; mais, d’une part, la droite )>i réciproque de^irt', par rapport à Si, c’est-à-dire l’intersection des plans tangents en ci\ et a\ à la sphère Si, est sur ce plan radical; d’autre part, cette droite réciproque doit appartenir au plan polaire Pi du point py situé sur ai a\ ; le plan Pi contient donc un point wi2 et une droite )>i dii plan radical R et, par suite, se confond avec lui. Il résulte de là que la ligne des centres yy' est perpendiculaire au plan Pt. Les points y et y' sont donc situés sur OZi, aux points où cette droite rencontre sYa{ et s^a\ ; ils coïncident par suite avec les centres x et x' de X et de X', de sorte que les sphères X et X' coïncident elles-mêmes respectivement avec Y et Y' et, par conséquent, touchent la sphère S2.