LIVRE Mil

DD' (1039) el sur le cercle décrit du point P comme centre avec PF comme rayon.

Ce cercle et la directrice se coupent toujours, quand le point P est extérieur à la courbe; car il est alors plus près de la directrice que du foyer (1031), et il y a deux solutions, qui se réduisent à une seule quand le point P est sur la parabole, ou disparaissent lorsqu’il est intérieur à la courbe.

Corollaires.

1048. Cherchons la condition pour que les deux tangentes menées du point P à la parabole soient à angle droit.

Ces tangentes étant supposées à angle droit, comme elles sont respectivement perpendiculaires aux milieux des droites F9et Fcp', l’angle 9F9' est aussi droit; par suite, 99" est un diamètre de la circonférence PF, et le point P est sur la directrice. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la parabole est donc la directrice.

Dans ce cas, l’angle PFM est droit ainsi que l’angle P FM' (1033) ; la corde des contacts MM' passe donc alors par le foyer et est perpendiculaire à PF.

1049. Les tangentes PM, PM', menées d'un point extérieur P à la parabole , font des angles égaux avec la droite qui joint ce point au foyer et avec la parallèle menée à l'axe par ce point ; la droite qui va du foyer au point P est bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs des points de contact M et M'.

Reportons-nous à la fig. 547, et soit PII la parallèle menée à l’axe par le point P. La tangente PM T étant perpendiculaire sur le milieu de F9, comme la tangente PM' T' sur le milieu de F9', ies deux angles MPH, F99', ont leurs côtés respectivement perpendiculaires et sont égaux; la droite PM' est la bissectrice de l’angle 9' PF, et l’angle au centre M'PF, égal alors à l’angle inscrit F 99', l’est aussi à l’angle MPI!. De plus, les angles PFM, PFM' sont respectivement égaux aux angles P9M, P9'M'. Or, le triangle 9 P 9' étant isocèle, les angles P9M, P9'M' sont égaux comme composés d’angles égaux; et leur égalité démontre celle des angles PFM, PFM'.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

PROBLÈME

1050. Mener à la parabole une tangente parallèle à une droite donnée.

Tout revient encore à trouver le point 9 symétrique du foyer F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point se trouveà l’intersection de la directrice etde la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la droite donnée. Il y a toujours une solution, et une seule.

Scolie.

1051. Les constructions des nos 1047 et 1050 n’exigent pas que la courbe soit tracée : il suffit d’en connaître le foyer et la directrice.

PROBLÈME

1052. Connaissant le foyer P et la directrice 1)1)' d’une parabole, déterminer ses points de rencontre avec une droite donnée LL'.

Supposons le problème résolu, et prenons [fig. 548) le symétrique 9 du foyer F par rapport à LL'. Si M est l’un des

riff. 5/18.

points de rencontre de la droite LL' avec la courbe, on aura M 9 = M F — MH, Mil étant la perpendiculaire abaissée du point M sur la directrice. Le cercle décrit du point M comme centre, avec MF pour rayon, passe donc par les points F et 9 et est tangent à la directrice. La question est ainsi ramenée à trouver le centre M d’un cercle passant par deux points don-

LES COURBES USUELLES