LIVRE VIII

l’ordonnée MP. La projection TP sur l’axe Oj de la porlion de tangente MT comprise entre son point de contact M et son pied T sur cet axe s’appelle sous-tangente ; de même, PN est la sous-noi male. Le trinngleTMN étant rectangle en M, et MP étant perpendiculaire sur l'hypoténuse TN, le théorème énoncé est démontré (222).

Au lieu d’axes rectangulaires, on peut employer des axes obliques. Les coordonnées d’un point sont encore ses distances aux deux axes, mais comptées parallèlement à ces axes. Les projections ne sont plus alors orthogonales, mais obliques, et le théorème précédent cesse d’être vrai.

THÉORÈME

10^5. Dans la parabole : i° la sous-tangente est double de l’abscisse du point de contact ; 2° la sous-normale est constante et égale au paramètre ( fig . 546).

i° Soit la tangente en M à la parabole. Si l’on prend pour axes coordonnés l’axe Ax de la courbe et la tangente au sommet A/, le point M aura MP pour ordonnée et AP pour abscisse. Le triangle TFM étant isocèle (1037), la projection K du foyer F sur la tangente MT est le milieu de MT. La tangente au sommet AK/ étant parallèle à l’ordonnée MP, le sommet A est donc le milieu de la sous-tangente TP, et TP = 2 AP.

20 Soit la normale MN. Elle est perpendiculaire à la tangente MT comme la droite F<p. La figure M9FN est donc un parallélogramme, et 9F — MN. Les deux triangles rectangles MPN, 9 LF, sont donc égaux, et l’on a PN = LF = p.

GÉOMÉTRIE DANS i/eSPACE.

1046. Le carré de l' ordonnée d’un point de la parabole est proportionnel à V 'abscisse de ce point [fig. 546).

Soienl y et x les coordonnées MP et AP d’un point quelconque M de la parabole» On a (1044, 1045)

y’2 — TP. PN —ix. p ou y' —ip x.

PROBLÈME

1047. Mener une tangente à la parabole par un point donné.

i° Si le point donné M est sur la courbe (fi g, 546), on mène

le rayon vecteur MF et la perpendiculaire M<p sur la directrice ; puis, la bissectrice de l'angle F M<p, qui est la tangente demandée (1033).

Il vaut mieux prendre sur l’axe, du côté du sommet, une longueur FT égale à MF; en joignant le point T ainsi obtenu au point donné M, on a (1037) la tangente demandée.

2° Si le point donné P est extérieur à la parabole , on remarque que la question serait résolue si l’on connaissait le symétrique cp du foyer F par rapport à la tangente cherchée ; car on aurait alors cette tangente en abaissant du point P une perpendiculaire TP surFcp (fig. 5 47). La droite TP coupe-

Fi'c* 5/|7.

rail d’ailleurs la parallèle menée à l’axe par le point 9, au point de contact M. Or, le point 9 se trouve à la fois sur la directrice

LES COUKBES USUELLES.