TT' = PP

Le triangle est donc la moitié du trapèze. Et, comme on peut répéter le même raisonnement pour chaque trapèze et pour le triangle correspondant, la somme des trapèzes reste toujours égale au double de la somme des triangles. La limite de la première somme étant l’aire MAP et la limite de la seconde l’aire MAT, l’aire MAP est les deux tiers du triangle total MTP ou du parallélogramme équivalent APMQ.

L’aire Mi AP étant de meme les deux tiers du parallélogramme APMi Qi, l’aire cherchée MAMi est enfin les deux tiers du parallélogramme MQQ1M1, qui a pour côtés la corde MM! du segment ou le double de 1’ordonnée MP, et la flèche de ce segment ou l’abscisse AP.

§ VI. ORIGINE COMMUNE DES TROIS COURBES. SECTIONS PLANES DU CONE DE RÉVOLUTION.

1079. Dans l’ellipse et dans l’hyperbole, à chaque foyer F correspond une droite D qu’on nomme directrice', c’est la perpendiculaire à l’axe

focal élevée par le point E qu’on obtient en portant sur cet axe, à partir

du centre O et de O vers F, une longueur OE égale à — (fig. 662).

Dans l’ellipse, a étant plus grand que c, OE est plus grand que OF : le point E tombe donc sur le prolongement de OF. en d’autres termes le foyer est entre la directrice correspondante et le centre. Dans 1 hyperbole au contraire, a étant plus petit que c, OU est moindre que OF;

350 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

le point E tombe donc entre O et F, en d’autres termes la directrice passe entre le centre et le foyer correspondant.

THÉORÈME

1080. La directrice D relative à un foyer F est :

i° La polaire P de ce foyer par rapport au cercle principal ;

2° L’axe radical R de ce foyer et du cercle directeur relatif à l’autre foyer.

En effet :

i° La polaire P est (341) perpendiculaire à OF et située par rap-

cd

port au centre du même côté que le foyer F, à une distance égale à —

puisque le rayon a du cercle principal est moyen proportionnel entre les distances du centre au pôle F et à la polaire P.

2° L’axe radical R (401, io°)est perpendiculaire à FF', du même côté que F par rapport au point O et à une distance de ce centre égale à

- f- = — , puisque 2a est le rayon du cercle directeur (F').

THÉORÈME

1081. Dans l’ellipse ou dans l’hyperbole, le rapport des distances d’un point quelconque M de la courbe à un foyer F et à la directrice corres -

pondante D est constant et égal à V excentricité - (fig- 562).

En effet, soient P la projection du point M sur la directrice D, N le point

Fig. 562.

où F'M prolongé rencontre le cercle directeur (F'), et I le point où la tangente en N à ce cercle rencontre D. D’après le théorème précédent,