LIV11E VI

COURBES USUELLES

on a IN = IF ; d’ailleurs MN est égal à MF ; les deux triangles MNI, MFI ont donc les trois côtés égaux; par suite, l’angle MFI est droit comme l’angle MNI et le cercle décrit sur MI comme diamètre passe par F, N, P. II résulte de là que l’angle NPM est égal à NFM ou (puisque le triangle MNF est isocèle) à MNF.

D’ailleurs les angles NMP, NF'F sont égaux comme correspondants. Les triangles NMP, F'NF sont donc équiangles, et l’on a la proportion

MN FF' MF 2 0 c

MP “ N F' °U MP ~ ia~ a

qui exprime le théorème énoncé.

Corollaire.

1082. Le lieu des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe ont un rapport constant X est une ellipse, une hyperbole ou une parabole suivant que le rapport X est inférieur , supérieur ou égal à l’unité (fi g- 562).

Pour X = i , la proposition résulte de la définition même de la parabole.

Supposons X < i, et considérons l’ellipse qui a pour foyer le point fixe F, pour directrice correspondante la droite fixe D et pour excentricité le rapport X. Cette ellipse est bien déterminée, car les relations

C nn

dont les seconds membres sont connus, assignent des valeurs uniques et finies aux éléments a et c. Or, d’après le théorème précédent, tout point de cette ellipse appartient au lieu, et il reste seulement à montrer que tout autre point M' du plan ne saurait faire partie du lieu. Or soient M le point où la demi-droite FM' rencontre l’ellipse, P et P' les projections de M et M' sur la directrice D, et Q et Q' les points où MP et M'P' coupent la parallèle à D menée par le foyer F. On aura