LIVRE Mil

LES COURBES USUELLES

est de môme dirigée suivant l’ordonnée MP de ce point par rapport au grand axe AA', et PD représente la distance du point M à la droite DE. Les triangles APL, ADB, AA'H, évidemment semblables, donnent alors

BL ou MF PD

AB Ail AD “ AA'

const.

Ainsi, les distances de chaque point de l’ellipse trouvée au foyer F et à la droite DE sont entre elles dans un rapport égal à l’excentricité(973) de la courbe. La même démonstration s’applique au foyer F' et à la droite D'E'. Les droites DE, DE', sont donc les directrices de la section.

2° Supposons que le plan sécant rencontre les deux nappes du cône {fig. 565).

Fig. 565.

On a alors

MF' — MF = MG' - MG = GG' = BB' = const. ;

d’ailleurs,

BB' = AB' — AB = AF' — AF et BB' = CC' = A' C — A' C' = A' F — A ' F'.

356 GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.

Il en résulte évidemment

AF — À' F' et BB' = AA'.

La courbe obtenue est donc une hyperbole, ayant AA 'pour axe transverse et les points F et F' pour foyers .

Si Ton trace A'II parallèle à B'C', AH est la distance focale de cette hyperbole. En effet,

AB' = AF' et B'H = C'A' = A'F\

Les droites DE et DE', intersections des parallèles BC, B'C', avec le plan sécant, sont les directrices de l’hyperbole. Le rapport des distances du point M au foyer F et à la droite DE est égal à l’excentricité de la courbe. C’est ce que les triangles semblables APL, ADB, AA'H, montrent immédiatement.

3° Supposons le plan sécant parallèle à l'une des génératrices du cône {fi g. 566).

Fig. 566.

Ayant mené le plan méridien LSL' perpendiculaire au plan sécant, ce dernier se trouve parallèle à la génératrice SL' et est alors coupé par le plan méridien suivant une droite AP parallèle (495, i°) à cette "génératrice. Dans le plan méridien, construisons la circonférence O, tangente aux génératrices principales en B et en C, et à la droite AP au point F. Si l’on fait tourner la figure autour de l’axe SO, la sphère engendrée par

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