LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

lofer F correspondant et est perpendiculaire ci la droite qui joint le point I au foyer.

En effet, supposons que dans le théorème précédent les points M et N viennent se confondre, auquel cas M et N appartiennent forcément à la même branche, la ligne FI sera la bissectrice de la limite du supplément de l’angle MFN, c’est-à-dire la perpendiculaire à la droite FT qui représente les deux rayons vecteurs confondus. On verrait de même que FT' est perpendiculaire à FJ. Donc les trois points T, F, T' sont sur une même perpendiculaire à FJ.

1085. Le môme théorème fournit une solution simple du problème qui consiste à construire une conique connaissant un foyer F et trois points A, 13, G.

Tout revient à trouver la directrice D relative au foyer F. Or on obtient deux points de cette droite en appliquant successivement la proposition (1083) aux deux cordes AB et BC.

On verra aisément qu’il y a quatre solutions et que, des quatre coniques obtenues, trois sont certainement des hyperboles; la quatrième est une ellipse, une parabole ou une hyperbole suivant la disposition des données.

THÉORÈME

1086. La section cl 'un cône circulaire droit par un plan est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

i° Supposons que le plan sécant rencontre toutes les génératrices du cône sur une meme nappe ( fig . 564).

Menons le plan méridien (869, 3°) du cône qui est perpendiculaire au plan sécant AMA'; il coupera le cône suivant les deux génératrices SA et SA' qui font entre elles l 'angle au sommet de la surface, et le plan sécant suivant la droite AA'. Dans le plan méridien considéré, construisons les circonférences O et O' qui, situées de part et d’autre de AA', sont à la fois tangentes aux génératrices SA et SA' et à la droite AA' qu’elles touchent aux points F et F'. Si l’on fait tourner le plan méridien autour de l’axe SO, ces deux circonférences engendreront deux sphères tangentes à la surface conique suivant les parallèles (869, 3°) BC et B'C', et tangentes au plan sécant en F et en F'.

Cela posé, prenons un point M quelconque sur la courbe d’intersection ; menons les droites MF, MF' et la génératrice SM qui coupera en G et en G les parallèles BC, B'C'. La droite MF étant tangente à la sphère 0 (787), on a (788) MF = MG. On a de même, par rapport à la sphère O', MF' = MG'.

R. et de C. — Tr. de Gcom. ( F9 Partie). 2.3

Par suite,

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

IMF + MF = MG 4- MG' = GG' = BC' = const.

D’ailleurs, en vertu des propriétés rappelées, on a

BB' = AB -t- AB' = AF -h AF et BB' = CC' = CA' -h A'C' = A'F + A'F'.

Il en résulte évidemment

AF = A' F' et BB' = AA'.

Jm courbe obtenue est donc une ellipse ayant AA' pour grand axe et les points F et F' pour foyers.

Fig. 564-

Si l’on trace A'H parallèle à BC, AH est la distance focale de cette ellipse. En effet,

AF' = AB' et HB' = A'C' = AF.

Les plans des parallèles BC, B'C', prolongés jusqu’à la rencontre du plan sécant, le coupent suivant deux droites DE, D'E', perpendiculaires au plan méridien considéré (561). Si l’on mène le parallèle LL' de la surface qui passe par le point M, son intersection avec le plan sécant