LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

engendrée par la rotation de AB autour de SO sera coupée suivant la parabole donnée par un plan mené perpendiculairement à celui du triangle OBA et passant par la droite AP, tracée de manière que AO soit la bissectrice de l’angle SAP. On peut donc toujours placer une parabole donnée sur un cône donné.

SCOLIE

1089. Le sommet d’un cône de révolution s’éloignant à l’infini dans la direction de l’axe, ce cône dégénère en cylindre de révolution. Un cylindre circulaire droit est donc coupé suivant une ellipse par un plan sécant quelconque (1086, i°).

C’est ce qu’on démontrera, du reste, directement en adoptant la même marche que précédemment. Cette marche permettra de déterminer le grand axe, le foyer et les directrices de la section proposée. On en déduira facilement que toutes les ellipses trouvées en coupant par un plan quelconque un cylindre de révolution ont pour petit axe le diamètre de ce cylindre .

On peut toujours placer une ellipse donnée sur un cylindre de révolution donné (1088, i°), lorsque le petit axe de Vellipse est égal au diamètre du cylindre.

THÉORÈME

1090. Si Von coupe une surface gauche de révolution par un plan , la projection de V intersection sur un plan perpendiculaire à l ’ axe de la surface est une section conique ( fig . 567 ).

Fig. 567.

On appelle surface gauche de révolution la surface engendrée par une droite non située dans un môme plan avec l’axe autour duquel elle tourne.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Le plus petit parallèle de la surface, engendré par la plus courte distance de la génératrice à l’axe (538), porte le nom de cercle cle gorge de la surface. La projection de la génératrice sur le plan du cercle de gorge est tangente à ce cercle, car, cette génératrice étant perpendiculaire à l’extrémité du rayon du cercle de gorge, il en est de môme de sa projection (531). »

Cela posé, représentons la surface par son axe OX, son cercle de gorge OG et l’une de ses génératrices GG'. Coupons-la par un plan HLR. Si ce plan rencontre en M la génératrice GG', M sera un point de la courbe d’intersection. Sa projection sur le plan du cercle de gorge sera en P, sur la tangente GP à ce cercle. La génératrice faisant un angle constant avec le plan du cercle de gorge, le rapport de PG à MP reste constant.

Menons par le point M la ligne de plus grande pente MH (555, 556) du plan IILR par rapport au plan du cercle de gorge, et traçons la droite PII. La droite MH faisant de même un angle constant avec le plan du cercle de gorge, le rapport de PH à MP reste constant; le rapport de PG à PH est donc aussi constant, et le théorème est démontré (1087).

Corollaires.

1091. Si le rayon du cercle de gorge devient nul, la surface gauche de révolution dégénère en un cône. Donc, la projection d'une section conique sur un plan perpendiculaire à l’axe du cône de révolution sur lequel elle est placée est une section conique , dont l’un des foyers est la projection du sommet de cône sur le plan de projection et dont la directrice correspondante est la projection sur le même plan de l’intersection du plan sécant avec le plan mené par le sommet, du cône parallèlement au plan de projection .

PROBLÈME

1092. Construire une ellipse ou une hyperbole dont on connaît l’excentricité —t l’un des foyers, et deux points ou deux tangentes , ou une tangente et son point de contact.

Nous résolvons ce problème pour montrer de quelle utilité peut être la considération des directrices.

i° Soient F le foyer donné, A et B les deux points donnés; déterminons les longueurs r et r' par les conditions

AF c BF c r a' r cf

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puis décrivons deux circonférences des points À et B comme centres avec les rayons r et r'. La directrice correspondant au foyer F sera une tangente commune aux circonférences décrites. En abaissant sur cette tangente DE une perpendiculaire FD et en marquant sur cette perpendiculaire les deux points A et A' qui la divisent dans le rapport -■> on aura l’axe focal AA' de la section conique ; sa distance focale FF' s’obtiendra en prenant dans le sens convenable, suivant la valeur de -■> A' F' = AF.

La question sera alors ramenée à construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant ses axes.

20 Soient F le foyer donné, MT, M'T', les deux tangentes données (ft g, 568). Déterminons les points f et f symétriques du foyer par rap-

Fig. 568.

port à ces tangentes. La perpendiculaire indéfinie KF' élevée à par son milieu K est un lieu de second foyer F' (98 i, 1 010 ) . Ce second foyer fait également partie du lieu dont le rapport des distances aux deux points

fixes F et f est égal à - • Nous déterminerons donc les points G et G' qui

divisent F ? dans ce même rapport, et sur GG' comme diamètre nous décrirons (187) une circonférence qui coupera KF' au point cherché. 11 ne restera plus qu’à construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant la distance focale FF' et l’axe focal F'çp de la courbe.

3° Soient F le foyer donné et MT la tangente donnée qui doit toucher la conique au point donné M. Déterminons le symétrique y du foyer par rapport à MT ;en joignant f M, nous aurons un lieu du second foyer F' (987, 1012). Divisons comme précédemment (20) F<p, aux points G et G', dans

le rapport donné-- La circonférence décrite sur GG' comme diamètre viendra couper en F' la droite <?M prolongée, et le problème sera résolu.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE