LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

point M, on devra ajouter le périmètre de AA' ce même nombre de fois à l'arc qui sépare le point A du pied de l’ordonnée du point M, pour avoir l’abscisse curviligne de ce point.

109i. Parmi toutes les courbes qu’on peut ainsi tracer sur la surface d'un cylindre droit, l 'hélice est définie par cette condition que l’ordonnée d’un point est proportionnelle à son abscisse curviligne.

L’équation de l’hélice, dans le système de coordonnées adopté (1093), est donc

Désignons par C le périmètre de la section droite AA' (fi g. 56g). x variant de zéro a C, on a un premier arc d’hélice qui part du point A et qui, après avoir coupé toutes les génératrices du cylindre, vient rencontrer de nouveau en At la génératrice GG', x variant de C à 2C, de 2C à 3C, . . ., on a de nouveaux arcs de courbe allant de A, à A2, de A2 à As, .... Les valeurs extrêmes de y sont, en même temps, o,/rC, 2/rC, 3/i C, .... Les distances AA,, A,A2, A2A3, . . ., qui séparent les points où l'hélice vient rencontrer une même génératrice GG', sont donc égales. Cette distance, constante quelle que soit la génératrice considérée, est ce qu’on appelle le pas de l’hélice. Les arcs de courbe AA,, A, A*, A2 A3, . . . , sont de même égaux entre eux; ils ne sont évidemment que la reproduction du premier arc AA, qu’on ferait glisser successivement le long du cylindre d’une hauteur égale au pas. Ces arcs égaux, dans lesquels l’hélice se trouve ainsi naturellement partagée, constituent les spires de la courbe.

THÉORÈME

1095. Lorsqu’on effectue le développement d’une surface cylindrique sur l’un de ses plans tangents, toute hélice tracée sur la surface se développe suivant une ligne droite (fig. 670).

Soit (fig. 570) l'hélice AMD,; pour deux points quelconques M et M' de cette courbe, on a la relation

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