DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES DE MÊME BASE

1101. Deux divisions homographiques peuvent être situées sur une même droite L; on appelle alors point double tout point de cette droite qui, considérée comme appartenant à la première division, coïncideavec son homologue de l’autre division.

Deux divisions homogj’aphiques de même base, qui ont trois points doubles, coïncident ; car b, c, étant les trois points doubles, et (///,/«') un couple quelconque de points homologues, l’égalité des rapports anharmoniques [abcm) et [abcm') exigent que m et /«'coïncident. Il suit delà que deux divisions homographiques distinctes et tracées sur une même droite ne peuvent avoir plus de deux points doubles.

1105. Pour étudier plus complètement la question des points doubles, prenons pour origine commune le milieu O de la droite IJ' qui unit les points homologues de l’infini [fig. 67 3 ) ; on aura alors OJ' = — 01, c’est-

Fig. 5t3.

à-dire (1101 ) À — — [ 1 , et l’homographie des deux divisions s’exprimera par l’équation

Om.Om — X (O m — O m1) + v = o, ou

( 5 ) O m . O m' -+• X . mm' h- v = o.

Nous savons d’ailleurs queX = OJ' = — 01; et, pour avoir la signification géométrique de v, il suffit de supposer que m est en O; car alors, m coïncidant avec l’homologue O' de O, l’équation (ï ) donne X. 00’ h- v = o, d’où v = — OJ'. 00' = 01.00'.

Cela posé, pour qu’un point m soit double, c’est-à-dire pour qu’il coïn-

372 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

eide avec son homologue ni, il faut et il suffit qu’on ait, en vertu de 1 équation (5),

0/^ h- v = o ou 0/;/ = ± y/ 0-1 -OU'.

On conclut de là que deux divisions ho mo graphique s de. même hase ont toujours deux points doubles réels ou imaginaires, et que le milieu des points doubles coïncide avec le milieu du segment IJ' formé par les points limites.

Les points doubles sont imaginaires lorsque les segments OJ'et 00' ont des signes contraires, c’est-à-dire lorsque 0' et J' sont de part et d’autre de 0. Ils sont réels lorsque 0' et J' sont d’un même côté du point 0 ; dans ce cas, en menant par 0 une tangente au cercle décrit sur O'J'

comme diamètre, puis rabattant cette tangente OT = v/OO'.OJ' sur la droite L en Oe et en 0/, on a les deux points doubles e et f.

î 1 OH. Pour (pie deux divisions homographiques de même base soient semblables, il faut et il suffit (1102) que rua des points doubles soit à P infini.

On voit immédiatement que : i° pour que deux divisions soient égales et de même sens, il faut et il suffit (pie les deux points doubles soient à V infini ; 20 pour que deux divisions soient égales et de sens contraires, il faut et il suffit (pie l’un des points doubles soit a V infini et que le second point double soit le milieu de tous les segments mm' formés par deux points homologues quelconques.

MOT. Cette théorie des points doubles nous amène naturellement à dire un mot de la détermination simultanée de deux points et du rôle des imaginaires en Géométrie.

Soient (fig. 200) une origine fixe 0 sur une droite X'X, et A et B deux points quelconques de cette droite. Au lieu de donner les segments OA et OBqui détermineraient individuellement les points A et B (303), on peut donner la demi-somme p et le produit q de ces deux segments, qui sont alors les racines de l’équation du second degré

x 2 — ip x 4- q = o.

Les nombres p et q sont dits les éléments du couple (A, B) ; leur connaissance détermine simultanément les deux points A et B.

Les nombres p et q étant supposés réels, les segments OA et OB seront réels ou imaginaires (conjugués), selon que la quantité p2 — q sera positive ou négative; dans ce dernier cas, les points A et B cessent d’exister, et l’on dit qu’ils sont imaginaires.

Deux points imaginaires A et B, ainsi définis, peuvent avoir des rela-