LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

base, il suffît d’exprimer dans la relation (1101)

am . am' — X . am — p. . am' + v = o

que les points I et J' coïncident, c’est-à-dire, puisque (110.1) X = aï et P = al, que X = p. L’équation d’involution est alors

( 3 ) am.am! — X ( am -h am1) h- v = o.

On voit qu’elle ne renferme que deux coefficients arbitraires X et v, de sorte qu’// suffit de deux couples de points homologues pour déterminer une involution.

Soient {a, a'), [h, h'), ( c , c'), trois couples de points homologues de deux divisions en involution : quatre quelconques de ces six points ont leur rapport anharmonique égal a celui des quatre points homologues ; ainsi l’on a, par exemple, [abcb' ) = [a'b'c' b), car les deux systèmes abcb', a' b' c' b, sont homographiques. Réciproquement, pour que trois couples de points [a, a'), [ b , b'), (c, c'), en ligne droite, soient en involution, c’est-à-dire pour que les points c et c' soient deux points homologues des deux divisions homographiques en involution déterminées par les deux couples ( a, a' jet (b, b'), il suffit que quatre de ces points aient leur rapport anharmonique égal à celui de leurs homologues ; car, si l’on a, par exemple, [abcb') = ( a'b'c'b '), les deux divisions abcb', a'b' c' b, sont homographiques, et au point b, considéré tour à tour comme appartenant à la première et à la seconde division, répond toujours le même point b'.

Il résulte de là que V involution est une propriété projective ,

1114. On sait que deux divisions homographiques de même base ont deux points doubles réels ou imaginaires, dont le milieu coïncide avec le milieu des points I et J' homologues de l’infini. Donc, toute involution a deux points doubles e et f, réels ou imaginaires, dont le milieu est le point central O ; cela résulte d’ailleurs delà relation (a) qui donne, pour les segments 0^ et O f relatifs aux points doubles,

[a, a') étant un couple quelconque de points homologues.

Ces expressions montrent encore que le segment ef, formé par les deux points doubles réels ou imaginaires, est divisé harmoniquement par chaque couple de points homologues [a, a' ) , [b, b'),... ('). Le point central, ayant même puissance par rapport à tous les couples [a, a'), [b, b'), ... de

(’) Il résulte de là que, lorsque l’un des points doubles e est à l’infini, l’autre point double /est le milieu de tous les segments an', bb', ce', ....

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

])oints homologues, appartient à l'axe radical de deux cercles quclconcjues ayant respectivement pour cordes deux segments quelconques aa\ bb\.... Donc : i° si sur les divers segments cia! , bl/, cc\. . . formes par chaque couple de points homologues, on décrit des circonférences passant toutes par un même point quelconque extérieur à la base, ces circonférences ont un second point commun et leur corde commune coupe la base au point central; 2° les circonférences décrites sur les divers segments aa\ bb\ ce'. ... comme diamètres , ont pour axe radical commun la perpendiculaire à la base élevée par le point central.

Nous avons déjà trouvé la plupart de ces résultats au n° 381 où nous avons ébauché en quelque sorte la théorie de l’involution en prenant pour point de départ la relation (2) ci-dessus. Nous renverrons à ce numéro, pour ce qui concerne l’influence de la réalité ou de l’imaginarité des points doubles sur la disposition des points d’une division involutive.

1 i 15. Les points doubles e et f de deux divisions homo graphiques quelconques, abc , .... a! b' c\ . . . , de même base, forment une involution avec chaque système de deux couples tels que al/ et ci b ; car on a

( cibef ) = (a' b'ef ) = (b' a' je) (318),

de sorte que les deux figures cibef \ b' a'fe, sont homographiques, et que ( le point e , considéré tour à tour comme appartenant à l’une et à l’autre, a toujours le même homologue f.

O11 conclut de là (1114) que : i° les trois circonférences, menées par J un même point g quelconque extérieur à la base et par les trois seg»ments ab', ba\ cf passent toutes trois par un second point commun; 20 les circonférences décrites sur ab\ b a' , ej\ comme diamètres , ont] même axe radical.