DIVISIONS ET FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES EN INVOLUTION

1112. On dit que deux divisions homographiques de même base L j forment une involution, lorsqu’on peut trouver sur la droite L un point j a qui, considéré successivement comme appartenant à l’une ou à l’autre I division, a toujours pour homologue le même point a! .

L homographie de deux divisions de même base s’exprime (1103) par j la relation générale

(1) Om.Om' -h OV.mm' -+- v = o,

O étant le milieu des points I et J' dont les homologues sont à l’infini.

Pour que l’égalité

O a . O a' -+- O.P. aa! -+- v = o

ne change pas quand on permute a et a', il faut et il suffit que O J' — o. I Donc, pour que deux divisions homographiques forment une involution, il faut et il sujjit que les points I et J', homologues de l'infini, coïncident.

La relation ( 1 ) se réduit alors à

( 2 ) O m . O m1 — const. ,

et la symétrie de cette équation, par rapport àOw et à O m\ montre que tous les couples de points homologues jouissent de la meme propriété 1 que le couple ( m , m1). Ainsi, dans deux divisions homographiques en involution, tout point considéré successivement comme appartenant à la fl première et à la seconde division a toujours le même homologue .

Le point O, où sont réunis les points I et J' et dont le conjugué est à j l’infini, reçoit le nom de point central de V involution.

1113. L’équation (2), très-commode à cause de sa simplicité, est trop j particulière. Lorsqu’on veut prendre pour origine commune des deux I divisions, non plus le point central O, mais un point quelconque a de la 9