LIVRE VIII
LES COURBES USUELLES
forment une involution, il laut et il suffit (1113) que chacun cl eux satisfasse à la relation
Am ,A/u' — 1 ( A m h- A m) -+-v = o ;
de là. les trois équations
*7, — ip{ l + v = o, q7 — 4- V =3 O, q3 — 2/q À -h v = o,
qui doivent être satisfaites par les mêmes valeurs de X et de v. La condition d’involution résulte donc de l’élimination de X et de v entre ces trois équations ; on trouve
(O 7i iPx ~Pa) + fJx {Pa -Pi)-*~ VaiPi — Px ) = °-
Cette équation (i) résulterait pareillement de l’élimination du paramètre arbitraire / entre les deux relations
Pa
Ib -+- f'l\
rh =
Un
qui peuvent dès lors remplacer la condition ( i ).
En vertu de ces valeurs, l’équation x2 — 2 p3x rp = o peut s’écrire
telle est l'équation qui détermine le troisième couple (c, c') en fonction des éléments des deux premiers (a, a') et (/;, b').
J 1 17. Dans les applications, il est souvent plus commode de substituer aux éléments /?,, q0 p2, q2, p3, <73, les segments A c/, A a', Ab , Ab', A c, A <■' ; or, sî a, (3, y, désignent respectivement les milieux des segments cicï , bb\ cc ', on a
P\ — A a, /;2 = A[3, /?3 = A y, et, par suite, la condition d’involution (i) s’écrit ( 2 ) A « . A a' . j?7 -h A . A // . 72 h- A c . A c' . a(3 = o .
Cette équation fondamentale en donne beaucoup d’autres. Par exemple, si l’on fait coïncider successivement l’origine arbitraire A avec chacun des points a , a\ b , b\ c, c ', on obtient le groupe
nb .ab'
ac . cc'
bc.bc'
b a . bu'
pa’
en . eu'
“vP’
GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
En remarquant que les équations écrites sur la même horizontale ont le même second membre, on a encore
ab. nb' a' b. a' b'
ac. ac' a'c.uc'
bc.bc ’ b'c.b'c' bct.bd b‘a.b'a'}
ca . ca' d a . c a
cb. cb' c'b.c'O'
Enfin, en multipliant entre elles de toutes les manières possibles trois des six équations (3), prises de telle façon que le produit des seconds membres soit égal à i, on obtient
I ob'.bc'.cd — — ci b .b' c. c'a,
^ \ab'.bc.c'a' — — db.b'c'.ca ,
^ \ cib .U c xcl — — ■ ci b' .bc .c a,
! ab.b'c.c ci = — a b' .bc'.ca.
