LIVRE VIII

LES COURP.ES USUELLES

deux points doubles réels ou imaginaires.

2° Que la courbe passe par les centres P et P' des deux faisceaux ; car la droite PP', considérée comme un rayon du faisceau P, rencontre en P' le rayon homologue du faisceau P'. On voit de même que la courbe passe en P.

3° Que la tangente en P est le rayon du faisceauV , qui est /’ homologue de la droite P'P considérée comme rayon du faisceau P'; car, lorsque le point a de la courbe vient en P, le rayon P a devient tangent en P et son homologue P 'a vient se confondre avec P'P. De même, la tangente en P' est le rayon du faisceau P' qui est l’homologue de la droite PP' considérée comme rayon du faisceau P.

Cela posé, « par le point de con- » cours 0 des tangentes en P et » en P' à la courbe considérée Pu P', » menons dans l’espace une droite » quelconque 0 z ; dansl’angle zOP, » inscrivons un cercle tangent à OP » au point P, et désignons parQ le » point où ce cercle touche Oz.

» a étant un point quelconque de » la courbe P«P', menons P 'a qui » coupe OP en ///, puis Qm qui ren- )) contre le cercle en a'. Quand le » point a décrit la courbe, les » droites Va et Qu' engendrent » deux faisceaux homographiques ; » maisles faisceaux décrits par Pu'et » Q«'sont homographiques ( J 130), )> et il en est de même par hypo-

divisions sont homographiques ; ils ont donc deux rayons doubles (réels ou imaginaires).

2° Que la courbe est tangente aux bases Ox et 0 y des deux divisions; car la droite Ox unit deux points homologues des deux cîi\ isions, savoir : le point 0 considéré comme appartenant à la division 0 y et le point homologue de la division O.r.

On voit de même que la courbe touche Oj.

3° Que le point de contact P de la tangente 0 x est le point qui, sur cette droite, répond au point 0 considéré comme appartenant a la division Oy ; car, lorsque la tangente y.am se confond avec Ox, le points devient le point de contact P et son homologue a arrive en 0. De même, le point de contact P' de la tangente 0 y est l’homologue du point 0 considéré comme appartenant à la division Ox.

Cela posé, par le point 0 menons dans l’espace une droite quelconque Oz; inscrivons dans l’angle zOx un cercle tangent à Ox en P, et désignons par Q son contact avec Oz.

a étant un point quelconque de lacourbe Pu: P', menons la tangente correspondante qui coupe Ox en m et O/en a ; puis, par m , menons la tangente ma' au cercle Qu'P, et désignons par a' le point où cette tangente coupe Oz. Quand le point a décrit la courbe Pu P', les points a et m tracent surOyet Ox deuxdivisions qui, par hypothèse, sont homo-

a thèse des faisceaux engendrés par n P a et P'/7. Donc les droites P a » et P a' engendrent deux faisceaux » Pornographiques, et, par suite, les » points a et a', où les rayons mo- » biles P ci et P a' rencontrent les » droites fixes OP' et OQ, forment » sur ces droites deux divisions ho- » mographiques. Les points P' et Q » sont deux points homologues de » ces deux divisions {m est alors » en O) ; de plus, le point O est un « point correspondant commun (m » est alors en P). Donc (1103) la » droite aa' coupe la droite fixe QP' » en un point fixe S.

)> Parconséquent, l’œil étant placé » en S, la droite P 'ni sera la pro- » jection de Q/«, etPa sera celle » de P a'; donc a sera la projection » de a! et, enfin, la courbe propo- >' sée P a P' sera la projection du » cercle Pa'Q (‘).

l’espace.

raphiques ; les divisions tracées sur Ox et O 2 par m et a' sont aussi homographiques (1130); donc les points a et a' décrivent sur 0/ et O z deux divisions Pornographiques.

Les points P' etQ sont deux points homologues de ces deux divisions (m est alors en O); de plus, le point O est un point correspondant commun ( ni est alors en P). Donc, la droite mobile aa' coupe (1103) la droite fixe QP' en un point fixe S.

Par conséquent, l’œil étant placé en S, la droite a. ni sera la projection de a! ni, et, comme la première enveloppe la courbe P «P' et que la seconde enveloppe le cercle Q«'P, on voit que la courbe P a P' est la projection du cercle P«'Q.

1132. Les princqjales propriétés des coniques résultent aisément de ce double mode de génération. Ces deux générations, Tune par point, l’autre par enveloppe, étant corrélatives , lorsque, en partant de l’une d’elles, on

aura démontré un théorème, il suffir rélatif, de partir de l’autre mode de ments corrélatifs des premiers.

Cin<i points déterminent une conique ; car, après avoir pris deux de ces points pour centres des deux faisceaux générateurs, il suffit de joindrecliacun d’eux aux trois autres points pour avoir trois couples de rayons homologues.

a, pour démontrer le théorème corgénération i et de faire des raisonne-

Cincj tangentes déterminent une conique ; car, en considérant deux de ces tangentes comme fixes, les troisautres traceront sur elles trois couples de points homologues des deux divisions homographiques qui déterminent laconique.

Il suit do là que la projection C' d’une conique C sur un plan quelconque P ne passant pas par le centre de projection est encore une conique. En effet, la courbe C' est le lieu des intersections des rayons

(’) Eugène Uouciii;, Bulletin de la Société Philomathique , ier juillet i865.