PÔLE ET POLAIRE DANS LES CONIQUES

1136. Si par un point O pris dans le plan d’une conique on mène une sécante qui rencontre la courbe en deux points m et ni ( réels ou imaginaires ), et si l’on détermine le conjugué harmonique 0' du point 0 par rapport au segment mm', le lieu du point Cf, lorsque la sécante tourne autour du point 0, est une ligne droite ( fi g. 583 ).

En effet, menons deux sécantes fixes Oaci' ,Obb, et désignons par a et a' les points où la transversale 0 mm' coupe les côtés opposés ab et a' b' du quadrilatère inscrit ab b' a'. D’après le théorème de Desargues (1121), le point 0 est un point double del’involution déterminée par les deux couples ( m,m '), (a, a'); or, par hypothèse, 0' est le conjugué harmonique de 0 par rapport au segment mm' ; c’est donc l’autre point double, et, par suite, il est aussi le conjugué harmonique de 0 par rapport au segment aa' ; donc, quand la transversale Owm' tourne autour de 0, le point O'décritla polaire du point 0 par rapport à l’angle lmb' formépar les droites fixes ab et a! b'.

Le point 0 et la droite u 0' sont dits pôle et polaire par rapporta la conique.

En observant que la polaire de 0 par rapport à l’angle bub' renferme (337) le point d’intersection des droites ab' et ba! , on voit, par la démonstration même qui précède, que : Si par un point 0 pris dans le plan d’une conique on mène deux sécantes 0 aa', Obi/ , et si l’on prend les points de rencontre u et v des droites qui joignent deux, à deux les extrémités des cordes aa! et bb', le lieu des points u et v, lorsqu’on fait varier les sécantes 0 aa' , 0 bb' , est la polaire du point 0 par rapport à la conique.

GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.

Quand les droites O aa' , Obi/, se confondent, les cordes ab, a' b', sont les tangentes en a et a' ; donc, si par un point O pris dans le plan d'une conique on mène une sécante 0 ad et les tangentes at , a' t', aux points a et d où elle rencontre la conique, le lieu du point de concours t de ces tangentes lorsque la transversale tourne autour de 0, est la polaire de ce point 0.

La polaire est la corde de contact des tangentes issues du pôle ; car, au point de contact k d’une tangente issue du pôle, les trois points ///, m , 0', sont réunis. Par suite, la polaire d’un point de la conique est la tangente en ce point, et, inversement, le pôle d’une tangente est son point de contact.

1137. Les polaires de tous les points d’une droite passent par le pôle de cette droite, et, inversement, les pôles de toutes les droites qui passent par un point sont situes sur la polaire de ce point.

Eu effet, soient [/Ig. 584) un point A et une droite L qui sont pôle et

Fig. 584.

polaire par rapport à une conique C. A' étant un point quelconque de L, la droite AA' coupe la conique en deux points a et (3 (réels ou imaginaires), et A et A' sont conjugués harmoniques par rapport à a(3; donc le point A appartient à la polaire L' de A'. Ainsi la polaire d’un point quelconque A' de L passe par A, et, inversement, le pôle A d’une droite quelconque L passant par A' est sur la polaire L' du point A'.

Il résulte de là que toute droite a pour pôle l’intersection des polaires de deux de scs pomts, et que tout point a pour polaire la droite qui joint les pôles de deux droites issues de ce point.

1138. La polaire d’un point 0 coupe la conique en deux points réels