LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

eu imaginaires, qui sont les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires issues du point O.

Lorsque la polaire du point O coupe la courbe en deux points réels, de ce point O on peut mener à la conique deux tangentes réelles, et le point O est dit extérieur à la conique.

Lorsque la polaire du point O rencontre la courbe en deux points imaginaires, les deux tangentes issues du point O sont imaginaires, et le point O est dit intérieur à la courbe.

La région intérieure et la région extérieure ont pour ligne de démarcation la conique elle-même qui est le lieu des points dont les polaires touchent la courbe, c’est-à-dire ont chacune avec la courbe deux points communs réels et coïncidents.

Considérons une conique C et un point extérieur T [fig. 584). La polaire de ce point rencontre la courbe en deux points réels a et (3, et les droites Ta, T (3, sont les tangentes réelles issues du point T. Nous donnerons à l’angle aT(3 formé par les directions Ta et T (3 le nom d'angle des tangentes, et nous appellerons l’angle (3Taf formé par la direction T (3 et par la direction Ta' opposée à Ta l’angle supplémentaire des tangentes. Cela posé, prenons les "points a et [3 pour centres des deux faisceaux générateurs de la conique, et considérons une droite quelconque TL ou TL' issue du point T. Les deux faisceaux traceront sur cette droite deux divisions homographiqu.es en involution; car le point T, considéré successivement comme appartenant à l’une ou à l’autre de ces divisions, a toujours pour homologue le même point À (ou A'), où la polaire a(3 de T rencontre la transversale TL' (ou TL). Les points doubles, réels ou imaginaires de cette involution, seront les points réels ou imaginaires communs à la transversale et à la conique. Or il est aisé de voir que ces points sont réels tant que la transversale est, comme TL', située dans l’angle a T (3 des tangentes, et imaginaires lorsque la tranversale est, comme TL, placée dans l’angle (3Ta' supplémentaire des tangentes. En effet, dans le premier cas, le segment TA et le segment nié formé par deux points homologues de l’involution correspondant à un point quelconque m de la courbe n’empiètent pas l’un sur l’autre et, par suite, les points doubles de l’involution ’ sont réels; mais, si TL' tourne autour de T de manière à venir sur TL dans l’angle supplémentaire, les points n et ré glissent sur les droites fixes aez, (35, se croisent en (3, et sont ensuite de part et d’autre du point T ; les segments nié et TA' empiétant l’un sur l’autre, l’involution a scs points doubles imaginaires. Ainsi la courbe est située tout entière dans l’angle aT(3 de tangentes issues d’un point extérieur quelconque T (et dans son opposé par le sommet).

1139. Les propriétés (352, 353) des quadrilatères inscrits et cir-

398 GÉOMÉTRIE DANS ^ESPACE

conscrits, ainsi que leurs démonstrations, s’appliquent aux coniques.

Il en est de même du théorème démontré au n° 1119. Dans cette proposition et dans les tracés (11123) qui en dérivent, on peut substituer au cercle une conique. Il en résulte un théorème que nous n’avons pas énoncé alors, parce qu’il était évident pour le cercle, mais qui est une propriété importante des coniques : Si autour d'un point d'une conique, comme sommet , on fait tourner un angle droit , la corde variable que scs côtés interceptent dans la conique passe par un point fixe, car les deux côtés de l’angle droit décrivent un faisceau involutif. Il est évident que le point fixe est situé sur la normale au point considéré, puisque, quand l’un des côtés de l’angle droit devient langent, la corde interceptée devient normale. Cette proposition, connue sous le nom de Théorème cle Frégier, fournit donc un moyen simple pour construire acre l’équerre la normale en un point donné d’une conique.

Le théorème (1119) étendu aux coniques donne une solution du problème suivant : Inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent respectivement par des points donnés A, B, C, . . . , M. Si un sommet a était connu, on tracerait immédiatement le polygone; il suffirait de mener la droite A a, de joindre au point B le second point b d’intersection de A a et de la conique, de joindre au point C le second point c d’intersection de la droite B b et de la conique, et ainsi de suite; la dernière droite Mm couperait pour la seconde fois la conique précisément au point a. Cela posé, prenons arbitrairement un premier point de départ a{ sur la conique, joignons-le au point A, et opérons comme cidessus; nous obtiendrons une ligne brisée inscrite alb{ci . . . m{ a,, mais qui ne se fermera pas, c’est-à-dire telle que la dernière droite M//q rencontrera pour la seconde fois la conique en un point a, différent do ar Construisons deux autres lignes brisées analogues a2b.2 . . . a2, a3bs . . . a3, et soit S un point fixe pris à volonté sur la conique. D’apres le théorème du n° 1119, le faisceau (S.aalaJa3) est liomographique du faisceau (S .bbfyb3), puisque les cordes ab,ci{bx, a2 b2 , afz, passent par le môme point A; de même, le faisceau (S .bbfff est liomographique du suivant (S.cc,r2c3), et ainsi de suite; donc le premier et le dernier faisceau (S.aa[a2a2), (S.«a,a2a3), sont homographiques, et S or est un rayon double de ces deux faisceaux. On voit par là qu’il suffira de construire (1126) les rayons doubles des deux faisceaux homographiques déterminés par les trois couples (S <?,, Sa, ) (Stf2,Sa2) (Sr/3,Sa3); chacun de ces rayons doubles coupera la conique en un point qui pourra être pris pour le sommet a\ il y a donc deux solutions.

Le problème corrélatif : Circonscrire à une conique un polygone dont les sommets soient situés respectivement sur des droites données, se résoudrait d’une manière analogue en s’appuyant sur le théorème cor-