OE

(5) FK = ii/4 .

La première des formules (i) résulte de la relation

FM = c. MD = e (OH — OP).

La troisième des formules (î) s’obtient en faisant la somme des carrés des valeurs (8) du n° 114/, et en ayant égard à la position du point M sur l’ellipse. — Les formules (a) sont une conséquence de la théorie des pôles et polaires. — La première formule (3) résulte de la théorie des foyers, et la seconde de la similitude des triangles ONN', NPM. — On obtient la première formule ( 4 ) en appliquant la formule du n° 238, et la seconde résulte de la similitude des triangles ONN', NPM. — Enfin, les deux premières formules (5) s’obtiennent à l'aide du théorème du

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACK.

nu 995 et de la similitude des triangles FMK, F'MK', qui donne le rapport de FK à F'K'; la troisième s’en déduit en prenant la demi-somme.

20 En changeant b 2 en — ZP, on a des formules analogues pour \' hyperbole.

Fig. 59S. Fig. 5c <9.

3° Considérons une parabole rapportée à son axe kx et à la tangente A y au sommet (9%. 59*9). M étant un quelconque de ses points, soient x et y ses coordonnées AP et MP, p le rayon vecteur MF, p le paramètre FU — 2 AF, et 0 l’inclinaison de la tangente MT sur l’axe. Menons la normale MN, et abaissons la perpendiculaire FK du foyer sur la tangente MT.

On a

TP — ix, PN = p, TN — p - 1- x, p = Fl’ — - TN = — -h x.

2i Si

Le triangle rectangle FTK donne ensuite

d’où

1 K = TF. TA = 0 x , KF = FT.AF

MT — ‘2,ox. MN — pf>.

Enfin, dans le triangle rectangle TMN, on a

tangô =

PN p PM ~ /

sin2Q =

MN’ pp

Nous avons vu que la parabole rapportée à un diamètre quelconque Mas' et à la tangente correspondante Mj' avait pour équation r'2 — 2 p'x'. Pour évaluer p', menons AI parallèle à MT, de manière à figurer les coordonnées x' — MI, y' = — - AI du sommet A par rapport aux axes y Ma:'; nous aurons alors