COMPLÉMENT DE LA MÉTHODE DES POLAIRES RECIPROQUES

1161. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de compléter et do généraliser la théorie que nous avons exposée aux nos348et suivants.

Nous nommerons origine le centre O du cercle auxiliaire par rapport auquel on prend les pôles et les polaires, et nous désignerons par R son rayon.

La polaire réciproque d’un cercle C situé d'une manière quelconque par rapport au cercle auxiliaire O est une conique qui a pour foyer l’origine O et pour directrice la polaire MM' du centre G du cercle proposé par rapport au cercle auxiliaire [Jîg. 6oo).

Fig. fioo.

En effet, désignons par o le rayon du cercle proposé G et par 3 la distance OC de son centre à l’origine. TP étant une tangente quelconque du cercle C et Q son pôle par rapport au cercle O, on a (351, 2°), en désignant par QN la distance du point Q à la droite MM',

GÉOMÉTRIE DANS l’eSTACE.

Le rapport des distances du point variable Q au point fixe O et à la droite fixe MM' est donc constant.

L’excentricité - de la conique obtenue est inférieure, supérieure ou P

égale à un, suivant que § est inférieur, supérieur ou égal à p. Donc, la conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que T origine O est intérieure, extérieure au cercle proposé C ou située sur la circonférence de ce cercle.

Cette proposition, combinée avec le principe du n° 3o0, permet de déduire de toute propriété du cercle une propriété focale des coniques.

Comme exemple, transformons la propriété de l’angle inscrit : L’angle MAB, formé en joignant un point variable d’une circonférence de cercle a deux points fixes de cette circonférence , est constant et égal à la moitié de V angle au centre ACB correspondant. Au cercle, répondra une conique ayant pour foyer l’origine O et pour directrice la polaire 7 du point C par rapport au cercle auxiliaire O ; aux points A, B, M, répondront deux tangentes fixes a et 6, et une tangente variable ptdela conique. Les points d’intersection de p. et a, de y. et 6, de 7 et a, de 7 et §, seront res • pectivement les pôles des droites MA, MB, CA, CB, et par suite, en vertu du principe du n° 330, on aura ce théorème : L’angle sous le<pœl on voit du foyer O d’une conique la portion d’une tangente mobile u. comprise entre deux tangentes fixes a et 6, est constant et égal à la moitié de l’angle sous lequel on voit du foyer la portion de la directrice 7 comprise entre les deux tangentes fixes a et (3.

Voici d’autres exemples :

Deux tangentes d'un cercle sont également inclinées sur la corde des contacts.

Le lieu du sommet d’un angle de grandeur constante circonscrit à un cercle est un cercle concentrique, et la corde des contacts enveloppe un cercle aussi concentrique.

Si une corde d’un cei'cle est vue sous un angle constant d’un point

La droite qui joint le foyer d’une conique à l’intersection de deux tangentes divise en deux parties égales l’angle sous lequel on voit du foyer la corde des contacts .

Si une corde d’une section conique est vue du foyer sous un angle constant , cette corde enveloppe une.

section conique ayant meme foyer et même directrice que la proposée ; le point de concours des tangentes aux extrémités de cette corde décrit une section conique ayant aussi même foyer et même directrice que la proposée .

Le lieu du sommet d'un angle de grandeur constante circonscrit à la