LIVRE VIII

LES COURUES USUELLES

fixe A de la circonférence , cette corde enveloppe un cei'cle concent ri (pie.

Les projections d'un point A d’une circonférence de cercle sur les côtés d’un triangle inscrit quclconi/ue sont en ligne droite .

parabole est une conique ayant le meme foyer et la meme directrice.

Si, par les sommets d’un triangle circonscrit à une parabole, on élève des perpendiculaires sur les droites qui joignent ces sommets au foyer F, les trois perpendiculaires concourent en un même point I.

Dans les deux derniers exemples, on a pris pour origine le point A ; et, comme ce point est sur la circonférence, la transformée cle cette circonférence est une parabole. Observons, en outre, qu’en vertu du dernier théorème obtenu, si l’on décrit un cercle sur Fl comme diamètre, ce cercle passera par les sommets du triangle circonscrit ; de là cette proposition : Le lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites fixes est le cercle circonscrit au triangle formé par ces trois droites.

1165. La polaire réciproque d’une conique C par rapport à un cercle auxiliaire 0 est une conique C'.

En effet, la conique G peut être considérée (1130) comme l’enveloppe des droites mai qui joignent les points homologues m et ni de deux divisions homographiques tracées sur deux tangentes fixes L et L\ Or, soient X, X', p, les pôles des tangentes fixes L et L' et de la tangente mobile mm' \ les droitesXp, X'p, décriront deux faisceaux homographiques. Car les droites issues de X répondant anharmoniquement aux points de la division L, et les droites issues de X' aux points de la division L' (1108), quatre droites quelconques issues de X auront même rapport anharmonique que les quatre droites homologues issues de X', attendu que quatre points quelconques de la division L ont même rapport anharmonique que les quatre points homologues de V. Donc le lieu des points p est une conique qui passe par les points X et X' (1131, 2°).

A chaque propriété des coniques en répondra dès lors une autre par la méthode des polaires réciproques.

Voici des exemples :

Le lieu des sommets des angles j droits circonscrits à une ellipse ou | a une hyperbole est un cercle.

Le lieu des projections d’un foyer

L’enveloppe des cordes d’une conique, qui sont vues sous un angle droit (l’un point fixe du plan de la conique, est une autre conique dont ce point fixe est le foyer.

Si par chaque point d’un cercle

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

sur les tangentes cl’ une ellipse ou (Varie hyper bole est un cercle.

on élève une perpendiculaire sur la droite qui joint ce point ci un point fixe, V enveloppe de ces perpendiculaires est une conique dont ce point i fixe est le fo rer.

Î1G6. Reportons-nous au théorème du n° 353. Si, sans rien changer au raisonnement, on avait pris pour origine de la transformation un point quelconque au lieu du centre du cercle circonscrit au quadrilatère, on aurait obtenu pour théorème corrélatif :

Dans tout quadrilatère circonscrit a une conique, le produit des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres sommets à la meme tangente.

Cette dernière proposition, transformée à son tour par la méthode des polaires réciproques, donne alors :

Dans tout quadrilatère inscrit a une conique, le produit des distances d'un point quelconque de la conique ci deux côtés opposés est dans un rapport constant avec le produit des distances du même point aux deux autres côtés.

Ce théorème est attribué à Pappus. On doit remarquer la manière dont nous l’avons obtenu et qui consiste dans une double application de la méthode des polaires réciproques.

Les explications données au n° 353 permettront au lecteur de voirluirnème comment ces théorèmes peuvent se généraliser et s’étendre à des polygones. Nous appellerons ici, au contraire, l’attention sur un cas par- \ ticulier. Lorsque deux côtés opposés du quadrilatère inscrit deviennent 1 tangents à la conique, les deux autres se confondent avec la corde de contact, et le théorème de Pappus devient le suivant : Le produit des I distances d'un point quelconque cl'une conique aux deux côtés d’un angle ; circonscr it est dans un rapport constant avec le carré de la distance du même point à la corde de contact. Le théorème corrélatif s’énonce : Z<? produit des distances de deux points fixes d'une conique à une tangente variable est dans un rapport constant avec le carré de la distance de V intersection des tangentes aux deux points fxes à la même tangente variable ; il résulte immédiatement de la propriété des quadrilatères circonscrits, lorsque l’on suppose que deux côtés adjacents du quadrilatère viennent se confondre avec les deux autres.

1167. On peut généraliser toute cette théorie en substituant au cercle I auxiliaire, par rapport auquel on prend les pôles, une conique auxiliaire : |

La courbe polaire réciproque d'une conique quelconque par rap - ‘