A B E CD

Deux portions AB et CD, prises respectivement sur deux droites indéfinies , ont la même longueur lorsqu’elles sont superposables. La droite CD étant transportée de manière que le point C tombe en A, si l’on peut amener le point D sur le point B en faisant tourner la droite CD autour du point A, la portion CD aura une longueur égale à celle de la portion AB.

Pour ajouter deux portions de droites AB et CD, on porte l’une d’elles, CD, en BE, à la suite de l’autre prolongée : la somme est la longueur de la droite AE comprise entre les points extrêmes; elle est indépendante de l’ordre des parties.

Une droite AE est dite plus grande qu’une autre CD, lorsque sa longueur est la somme des longueurs de cette autre et d’une troisième.

On remarquera que nous n’avons pas défini le mot longueur ; c’est que l’idée de longueur est une de ces notions premières qu’on ne sait ramener à aucune autre. Aussi bien, bâtons -nous de le dire, il n’est pas nécessaire de savoir définir une grandeur pour pouvoir la mesurer (*), c’est-à-dire la corn-

0) Voir, à la fin du Volume, la Note I Sur la mesure des grandeurs.

INTRODUCTION

parer à une aiitre grandeur de même espèce prise pour unité; il suffit de posséder la notion des grandeurs de cette espèce et d’avoir défini leur égalité et leur addition. C’est ainsi qu’après avoir défini, comme nous venons de le faire, l’égalité et l’addition des lignes droites, on conçoit nettement ce que c’est qu’une portion de droite double, triple, ..., d’une autre, et en général ayant avec cette autre un rapport quelconque.

On nomme distance de deux points A et B la longueur de la droite qui joint ces deux points. Nous n 'admettons pas que la distance ainsi définie représente le plus court chemin du point À au point B; c’est là, non un axiome, mais un théorème, qui sera démontré ultérieurement.

4. On nomme ligne brisée une ligne formée de plusieurs portions de droites distinctes; telle est la ligne ABCD [fi g. 2).

Fig. 2.

On confond sous la dénomination commune de lignes courbes toutes les lignes autres que la ligne droite ou les lignes brisées.

5. La plus simple de toutes les surfaces est le plan, dont une glace polie peut donner l’idée. La définition géométrique du plan consiste en ce que toute droite qui joint deux points de cette surface y est contenue tout entière. C’est ainsi, par exemple, que, pour vérifier si une table est plane, on s’assure qu’on peut y appliquer dans tous les sens une règle bien dressée, sans qu’il reste aucun vide entre la table et la règle.

Une surface formée de plusieurs portions de plans distinctes est dite brisée ; et l’on confond sous la dénomination commune de surfaces courbes toutes les surfaces autres que le plan et les surfaces brisées.

On divise la Géométrie en deux parties : la Géométrie plane , relative aux figures situées dans un plan unique, et la Géométrie dans l’espace, relative aux figures dont les éléments peuvent être disposés d’une manière quelconque dans l’espace.

INTRODUCTION

G. Nous terminerons cette Introduction par quelques remarques importantes.

Toute proposition consiste dans une hypothèse et une conclusion qui en découle, soit immédiatement, soit en vertu d’un raisonnement qu’on appelle démonstration.

On nomme réciproque d’une proposition une seconde proposition dont l’hypothèse et la conclusion sont respectivement la conclusion et l’hypothèse de la première. La proposition contraire d’une proposition est une autre proposition dont l’hypothèse et la conclusion sont respectivement la négation de l’hypothèse et de la conclusion primitives. Ainsi, la proposition a Si A égale B, C égale D » a pour réciproque : « Si C égale D, A égale B », et pour contraire : « Si A nest pas égal à B, C n’est pas égal d D ».

La vérité de la réciproque d’une proposition entraîne celle de la proposition contraire. Ainsi, soit la proposition : « Si A égale B, C égale D»; de la réciproque: «Si C égale D, A égale B», il résulte que « si A n’est pas égal à B, C nest pas égal à D »; car si C était égal à D, A serait égal à B.

De même, la vérité de la proposition contraire d’une proposition entraîne la vérité de la réciproque.

7. En général, lorsque dans une proposition ou dans une série de propositions on a fait toutes les hypothèses possibles sur un sujet déterminé et que ces hypothèses ont conduit à des conclusions respectives essentiellement distinctes et dont chacune exclut toutes les autres, on peut affirmer que les réciproques des propositions établies sont toutes vraies. Nous ferons dans la suite un fréquent usage de ce principe.

GEOMETRIE PLANE