LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

Lrer la seconde, il suffit d’appliquer le théorème que nous venons de rappeler aux deux tangentes B a, B y coupées par la tangente AC et aux deux tangentes Cp et Ca coupées par la tangente AB. On obtient ainsi les deux proportions

Y A BC pA CB AB “ Ca’ ÂC “ Bâ

qui, si l’on désigne par Oi, yi et pt les points où BC rencontre AO et les parallèles à AO menées par y et p, peuvent être remplacées par

fi O, BC p.Oi CB OjB ” Ca’ OiC ~ Baj

on en conclut, en observant que yi Oi = Oj Pi, la relation

d’où l'on déduit

ou

OjJl COi

Cet a B

OiB CCq + ChB CB C a C a -+- a B CB

Ca = OjB.

On peut aisément déterminer les éléments fondamentaux de la parabole, c’est-à-dire le foyer F et la directrice A.

Le tracé que l’on donne habituellement pour déterminer le foyer F consiste à prendre l’intersection delà droite y F symétrique de yyi Par rapport à y A et de la droite (jF symétrique de (3(3i par rapporta [3A; c’est une conséquence immédiate de l’égale inclinaison de la tangente à la parabole sur le rayon vecteur et la parallèle à l’axe. M. Maurice d’Ocagne a fait observer ( Génie civil , tome IX, page 91) que ce tracé devenait illusoire lorsque l’angle y A [3 formée par les tangentes données est droit, et il a proposé la solution suivante qui convient à tous les cas : Élevez en A et $ clés perpendiculaires sur A (j, en A et y des perpendiculaires sur A y ; le foyer F sera la projection du point A sur celle des diagonales du parallélogramme ainsi formé qui ne passe pas par A. Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ce tracé, attendu qu’il nous semble préférable, pour la détermination du foyer et de la directrice, de recourir au théorème suivant :

Si un triangle ABC a ses côtés tangents à une parabole , le cercle circonscrit passe par le foyer F et le point de concours II des hauteurs est sur la directrice A. En effet, la tangente au sommet de la parabole, contenant les projections du foyer F sur les tangentes, est la droite de

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Simson (169, n°) relativement au triangle ABC et au point F; ce point F appartient donc au cercle circonscrit au triangle ABC. La seconde partie de l’énoncé résulte de ce que la droite de Simson est équidistante des peints F et H (1).

Si l’on applique successivement ce théorème au cas où la tangente variable BaC se confond avec l’une et l’autre des tangentes fixes données AB y, AC [3, on voit que :

Le foyer F est le second point d’intersection de demie cercles dont (*)

(*) Cette propriété de la droite de Simson a été seulemént énoncée au n° 169. Voici sa démonstration {Jig. 6o4) :

Remarquons d’abord que si l’on prolonge la hauteur CHR jusqu’à sa rencontre G avec le cercle circonscrit au triangle ABC, on a RG = RH; car, les angles RAG, RAII étant l’un et l’autre égaux à HCD, sont égaux entre eux; les triangles rectangles ARG, ARII sont donc égaux et, par suite, RG est égal à RH. Cela posé, soit F un point quelconque du cercle circonscrit, N et L les pro¬

jections de F sur AB et AC, enfin E et K les points où FG rencontre le côté AB et la droite de Simson NL. Le quadrilatère AFLN est inscriptible, puisque des points N et L on voit AF sous un angle droit; on en conclut l’égalité des angles F’NK, FAC; mais ce dernier angle a même mesure que FGC, lequel est égal à NFK puisque FN et CG sont parallèles. Donc les angles FIN K, 1NFK sont égaux et, par suite, les droites KF et KN sont égales. On déduit de là, puisque le triangle FNE est rectangle en N, que K est le milieu de l’hypothénuse FE et que l’angle KNE est égal à KEN ou encore à IIER, vu la symétrie de EH et de EG par rapport à AB. D’après cela, la droite de Simson NKL est parallèle à EH et passe par le milieu K de FE; elle doit donc passer par le milieu 1 de FH.

Lli S COURBES USUELLES.