LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

par polaires réciproques, la conique donnée étant prise pour directrice, on tomberait sur une nouvelle solution, dans laquelle les pieds des normales seraient les points où la conique C est touchée par les tangentes communes à cette conique et à une parabole aisée à déterminer. Ajoutons enfin qu’en prenant pour inconnues, non les pieds des normales, mais les points où la conique C est rencontrée par les perpendiculaires menées de l’un de ses sommets sur les quatre normales, on trouverait ces points par la rencontre de la conique donnée et d’un cercle(2w/Oo.\cHiMSTiiAL,/o?/rnal de Crelle, t. XLVIII; et Smith, Annales de Tortolini, 2e série, t. 111).

Nous devons encore signaler sur ce sujet une proposition remarquable due à Joachimsthal.

Si d'un point ou mène des normales à une ellipse , trois des points d’incidence N, P, Q, et le point AJ j diamétralement opposé au quatrième M sont sur un meme cercle.

En effet, d’après le théorème de Desargues, l’ellipse, l’hyperbole d’Apollonius et le système des cordes communes MN et PQ déterminent sur chacun des axes de l’ellipse une involution ; et, comme dans chacune de ces involutions le point conjugué de l’infini est évidemment le centre O de l’ellipse, on a, en désignant par Ai et Bi les points où les axes coupent AIN et par A2 et B2 les points où les axes coupent PQ,

OB. OB' = OBi .OB2j OA. OA' = OAi .OA2 ; d’où, par division,

OB, OB-, t/2

oa; * OÂ â ~ «2 ’

ce qui exprime que le produit des coefficients angulaires des deux

cordes AIN et PQ est égal à — ; mais le produit des coefficients angulaires des deux cordes supplémentaires NA1 et NAIi est (J 146, Il 17) égal Id

à - • Donc les cordes PQ et NAL ont des coefficients angulaires

a2 vi

égaux et de signes contraires; en d’autres termes, ces cordes sont également inclinées sur les axes de l’ellipse. Par suite (1 175), les points P, Q, N et Ali sont sur un môme cercle.

Le théorème et la démonstration subsistent pour l’hyperbole.

QUELQUES PROBLÈMES RELATIFS A LA PARABOLE ET A L’iIYPERBOLE ÉQUILATÈRE.

1 192. Construire une parabole connaissant deux tangentes A fl, A y et la corde de contact S y ( Ji g. 6o>).

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Ce problème se présente souvent en Mathématiques appliquées et notamment en Statique graphique.

La théorie des diamètres fournit un premier tracé par points et tangentes : 011 joint le point A au milieu O de la corde (3 y ; le milieu I de AO est un point de la courbe et la tangente en ce point I est parallèle à (3y. On continuera en opérant de même sur les angles circonscrits! formés par la nouvelle tangente et les deux tangentes primitives.

Un autre tracé fort simple résulte du théorème suivant : Si, par un point cpielconque M de la corde de contact jüy d’un angle (3 A y circonscrit à une parabole, on mène des parallèles MB, MC aux côtés de cet angle , la diagonale BC du c/uadrilatère ABMC ainsi formé est tangente à la parabole. En outre, on obtient le point de contact a de cette tangente BC en prenant C a = Oj B, Oi désignant le point oh BC rencontre la médiane AO du triangle (3 A y . En effet, on sait (1154) que, pour qu’une droite mobile BC soit tangente à une parabole, il faut et il suffit qu’elle détermine sur deux tangentes fixes, A y et A (3, des segments homologues proportionnels, c’est-à-dire que l’on ait

yB AC BA ~ C (3 *

Or cette condition est ici remplie, car les deux rapports précédents sont respectivement égaux à

yB BM MC ’ C (3 ?

dont l’égalité résulte de la similitude des triangles MBy, fi GM.

Fig. 6o3.

La première partie de l’énoncé se trouve ainsi établie. Pour démcn-