CÔNES DU SECOND ORDRE ET CONIQUES SPHERIQUES

1203. Dans lecône, le plan polaire ct de tout point p de l’espace contient le sommet s, et si le point p se déplace sur ps, le plan polaire zs ne change pas ; aussi convient-il de donner à ce plan rs le nom de plan polaire de la droite ps et, à cette droite, le nom de polaire du plan or. Si la droite ps tourne autour du sommet s dans un plan, son plan polaire u tourne autour de la polaire de ce plan ; cela résulte de ce que les traces de ps et de rs sur un plan quelconque sont constamment pôle et polaire par rapport à la conique que ce plan détermine dans le cône.

Tout plan qui ne passe pas par le sommet a ce sommet pour pôle ; le sommet est donc le pôle du plan de 1 infini, c’est-à-dire le centre de la

GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

surface. Désormais, quand nous parlerons de droites et de plans conjugués par rapport à un cône du second ordre, nous entendrons toujours qu’il s’agit de plans et de droites passant par le sommet. Ainsi nous dirons que : i° une droite et un plan sont conjugués par rapport au cône lorsqu’ils passent par le sommet et que la droite est la polaire du plan ; i° deux plans sont conjugués par rapport au cône quand ils passent par le sommet et que chacun d’eux contient la polaire de l’3utre ; 3° deux droites sont conjuguées par rapport au cône quand elles passent par le sommet et que chacune d’elles est située dans le plan polaire de l’autre.

Quand deux plans ou deux droites sont conjuguées, leurs traces sur un plan quelconque sont conjuguées par rapport à la conique que ce plan détermine dans le cône.

Quand un cône est circonscrit à une surface du second ordre , les droites et les plans conjugués par rapport au cône sont aussi conjugués par rapport à la surface ; car, d’abord, leurs traces sur le plan de la conique de contact sont conjuguées par rapport à cette conique, et, de plus, ce plan est le plan polaire du sommet du cône par rapport à la surface.

Les sections d'un cône du second ordre par des plans parallèles sont semblables (1199), et le lieu des centres est la polaire du plan a mené par le sommet du cône parallèlement aux plans sécants. Ces sections sont des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, suivant que le plana ne contient pas de génératrices, en renferme une seule ou en contient deux.

Une droite passant par le sommet d’un cône du second ordre est dite intérieure ou extérieure au cône, suivant que sa trace sur un plan quelconque qui ne passe pas par le sommet est intérieure ou extérieure à la conique que ce plan détermine dans le cône. Un point de l’espace est dit intérieur ou extérieur au cône, suivant que la droite qui unit ce point au sommet est elle-même intérieure ou extérieure.

1204. Le sommet d’un cône du second ordre est le sommet d’une infinité de trièdres polaires (1196), c’est-à-dire de trièdres tels que chaque arête est la polaire de la face opposée. Les trois arêtes forment un système de trois diamètres conjugués ; Lun de ces diamètres est intérieur au cône et les deux autres sont extérieurs; cela résulte de ce que la trace du trièdre sur un plan quelconque est un triangle polaire par rapport à la conique section du cône par ce plan, et un tel triangle a toujours un sommet intérieur et deux sommets extérieurs à la conique.

L’un de ces trièdres polaires est trirectangle ; ses arêtes sont les trois axes du cône; l’un est intérieur et les deux autres sont extérieurs.

Tout plan perpendiculaire à l’un des axes détermine dans le cône une conique qui a soncentre sur cet axe et ses axes parallèles aux deux autres axes du cône. Tout plan perpendiculaire à l’axe intérieur du cône donne