LIVRE VIII. — LES COURUES USUELLES
Désignons par m un point quelconque de l’espace situé à distance finie, et considérons l’un des six plans déterminés par le point m et chacune des cordes communes, le plan mab par exemple. Ce plan détermine dans la surface 2 une conique qui rencontre la conique C aux deux points a et b\ par suite, cette conique est un cercle, attendu que les points a et b sont les points cycliques du plan mab. Donc, par un point quelconque m de l’espace passent six plans mab , mal, mac , mbd , mad, mbc , donnant des sections circulaires, mais dont les deux premiers sont seuls réels. Les deux plans d’un même système mab et mal, mac et mbd, mad et mbc, se coupent respectivement suivant les droites mp, mp ', mp", qui sont parallèles aux axes ; ils sont donc respectivement perpendiculaires aux plans principaux \p'p" ,lp"p, I pp'.
On donne en particulier le nom de plans cycliques aux trois couples de plans lab etl cd, I«cet I bd, lad et I bc, qui donnent des sections circulaires et qui passent respectivement par les axes I p, I //, I p". On obtient toutes les sections circulaires de la surface en coupant cette surface par des plans parallèles aux six plans cycliques. Il y a donc six séries de sections circulaires; le lieu des centres de chaque série est le diamètre conjugué du plan cyclique auquel sont parallèles les plans de la série considérée, et l’on donne le nom d 'ombilics aux points où chacun de ces diamètres rencontre la surface.
Les deux plans cycliques qui passent par un même axe ont pour plans bissecteurs les deux plans principaux qui contiennent cet axe. Ainsi, les plans cycliques lab, lcd, ont pour plans bissecteurs les plans principaux I pp', I pp" ; cela résulte de ce que les cordes ab et cd divisent harmoniquement l’angle p'pp", de sorte que l’angle dièdre droit (I ab, lcd ) est divisé harmoniquement par les plans I pp', I pp".
Des trois couples de plans cycliques, un seul (I ab, lcd) est réel ; il n’y a donc que deux séries réelles de sections circulaires et, par suite, que quatre ombilics réels.
