LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE UE CERCLE

rieurement ou sécants, on a 00' > OA — O'A' ; le point 0 est extérieur au cercle auxiliaire, et l’on peut par ce point mener deux tangentes à ce cercle; donc les deux cercles donnés ont, dans chacun de ces cas, deux tangentes communes extérieures.

Si les deux cercles sont tangents intérieurement, on a 00' = OA — O'A'; le point 0' est sur la circonférence auxiliaire; on ne peut donc mener par ce point qu’une tangente à ce cercle et, par suite, les deux cercles 0 et 0' ont une seule tangente commune extérieure.

2° Soit EE' une tangente commune intérieure, c’est-à-dire qui laisse les deux cercles 0 et 0' de côtés différents [Jig.iioi]. En imaginant, comme ci-dessus, une parallèle OT à EE', on verra que cette parallèle est tangente à un cercle concenirique au cercle 0 et décrit avec un rayon OF égal à la somme OE 4- O'E' des rayons des cercles donnés, d’où l’on déduira la construction suivante : décrivez du centre 0 de l’un des cercles une circonférence, avec un rayon égal à la somme des rayons des cercles proposés, et du point 0' menez une tangente à ce cercle auxiliaire; F étant le point de contact, tirez OEF, menez O'E' parallèle à OF, et, en joignant les points E et E', vous aurez la tangente demandée.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le point 0' ne soit pas à l’intérieur du cercle auxiliaire; on doit donc avoir

00'>0F ou 00'> OE -h O'E',

ce qui revient à dire (123) que les deux cercles proposés 0 et 0' doivent être extérieurs l’un à l’autre ou tangents extérieurement.

Dans le premier cas, on a 00' > OE -+- O'E' ; le point 0' est extérieur au cercle auxiliaire; on peut donc mener par ce point deux tangentes à ce cercle, et les deux cercles 0 et 0' ont deux tangentes communes intérieures. Dans le second cas, on a 00' = OE 4- O'E' ; le point 0' est sur la circonférence auxiliaire ; on ne peut donc mener par ce point qu’une tangente à ce cercle, et, par suite, les cercles proposés 0 et 0' ont une seule tangente commune intérieure.

C)2 GÉOMÉTRIE PLANE