O'A' OB
et, puisque le point A' appartient à l’hyperbole AA' et le point B' à l’hyperbole BB',
ô7!'2 .z2 oïr2 z2
L’élimination de O'A' et de O'B' entre ces trois équations donne la relation
entre les coordonnées d’un point quelconque de la surface; c’est X équation de l’hyperboloïde.
GÉOMÉTRIE DANS L ESP ACE
ratrice de chaque système G, et dans le plan de l’infini. Cette surface est donc tangente à ce plan de l’infini et, par suite, le pôle de ce plan, c’està-dire le centre de la surface, est à l’infini. L’un des plans principaux passe alors à l’infini ainsi qu-e les deux axes qu’il contient, et il ne reste à distance finie qu’un seul axe et les deux plans principaux qui passent par cet axe, auquel tous les diamètres deviennent d’ailleurs parallèles.
1217. Si l’on projette toutes les génératrices d’un hyperboloïde sur un plan diamétral quelconque et à l'aide de projetantes parallèles au diamètre D conjugué du plan rs, les projections des génératrices sont tangentes a la section P faite dans la surface par le plan rs. En effet, soient G une génératrice quelconque et ni le point où elle rencontre la courbe P. Le plan tangent au point m est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui aboutit en m, lequel plan diamétral contient D; donc le plan tangent en m , passant par la génératrice G et étant parallèle à D, est précisément le plan projetant de cette génératrice; par suite, la projection de cette génératrice est l’intersection du plan rs et du plan tangent à la surface, c’est-à-dire est la tangente en m à la courbe P.
En particulier, les projections orthogonales des génératrices sur les plans principaux enveloppent l’ellipse de gorge et les hyperboles principales.
1218. Quand les deux axes réels ont la même longueur, l’ellipse de gorge devient un cercle, et la surface, lieu des cercles dont les plans sont perpendiculaires à l’axe oz et dont les centres sont sur cet axe, est de révolution ; cet hyperboloïde de révolution résulte de la rotation de l’hyperbole principale autour de son axe non transverse.
