LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES

Tout plan passant par Taxe donne dans la surface une conique symétrique par rapport à cet axe et dont le second axe disparaît à l’infini; cette conique est donc une parabole. Toutes ces paraboles ont leur sommet en un même point commun à l’axe et à la surface, qu’on nomme sommet de la surface.

Toute section par un plan rz parallèle à l’axe est une parabole égale à celle cpie détermine le plan rz! mené par l’axe parallèlement au plan proposé. En effet, d’abord la section par le plan v> est une parabole, puisqu’elle est semblable à la section faite par le plan rz' ; puis ces deux paraboles sont égales, attendu que l’un des cônes qu’on peut mener par ces deux courbes (1210) dégénère en un cylindre dont ces courbes sont deux sections parallèles.

1220. Les sections par des plans non parallèles à l’axe sont des hyperboles, puisque ces plans coupent les génératrices G, et L, situées à l’infini en deux points. Étudions spécialement les sections hyperboliques dont les plans sont normaux à l’axe. Désignons par o le sommet, par ox la partie de l’axe située à droite de o et par ox' la partie de l’axe située à gauche. Le plan perpendiculaire à l’axe mené par le sommet o est tangent à la surface, puisqu’il est conjugué à la direction ox ; il contient donc deux génératrices que nous nommerons og et o/, et c’est à ces deux droites que se réduit ici la section hyperbolique. L’hyperbole obtenue en coupant par tout autre plan normal à l’axe doit donc avoir ses asymptotes parallèles à oget à o/; ces asymptotes sont donc les intersections du plan considéré et des deux plans fixes gox , /ox; par suite, si l’on désigne par oy et oz la bissectrice de l’angle gol et celle de son supplément, les plans «ox, eox, devront contenir les axes de toutes ces hyperboles, de sorte que ces plans sont les plans principaux; ils coupent la surface suivant deux paraboles ayant même sommet o, et pour axe l’une ox, l’autre ox' ; car, si ces paraboles principales étaient tournées du même côté, par exemple toutes les deux à droite de o, les sections hyperboliques faites par des plans normaux à l’axe et à droite de o auraient quatre sommets réels, ce qui est absurde. Ainsi, en résumé, les hyperboles obtenues en coupant par des plans perpendiculaires à l’axe sont situées : à droite du sommet, dans l’un des angles formés par les plans gox, lox (et dans son opposé); et, à gauche du sommet, dans le supplément de cet angle (et dans son opposé).

1221. Tout plan parallèle à l’un des plans principaux coupant la surface suivant une parabole égale à celle que détermine ce plan principal, on voit que la surface peut être engendrée par l’une clés paraboles principales glissant parallèlement ci elle-même de façon que son sommet décriée l’autre parabole principale ; ce mode de génération est celui qui

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

révèle le plus nettement la forme de la surface. Ajoutons ayx'en projection orthogonale sur un plan principal, les génératrices enveloppent la para bole principale correspondante.

Soient p et // les paramètres des paraboles principales BOB', COC'; cherchons l’équation du paraboloïde, c’est-à-dire la relation entre les

Fig. 610,

constantes données pslp' et les coordonnées variables x = 01, y — PM, z - IP, d’un point quelconque M de cette surface [fig. 610 ). La section faite par le plan mené par M parallèlement au plan xoy étant une parabole ICg égale à la parabole BOB', on a, puisque M appartient à cette parabole ICg,

y2 — 2 p . CP = ip . Kl

et, puisque le point C appartient à la parabole COC',

on en déduit

c’est-à-dire

z2 — <ipl . KO ;

— — — * = 2 (Kl — KO) = 2 01, P P

1222. Le plan gox, coupant la surface suivant une première génératrice og , doit la couper encore suivant une génératrice du système opposé; et cette seconde génératrice doit être à l’infini, sans quoi l’axe ox rencontrerait la surface en deux points à distance finie; c’est donc la génératrice Lr Or toute autre génératrice G du même système que o^est dans un môme plan or avecL,; les deux plans cr et gox ayant leur inter-