LIVRE VIIF. — LES COURBES USUELLES. f\ty

gents à la surface Or, soient p, f, trois plans tangents à la surlace^; m, ///', ///', leurs points de contact, et /?, n’, n" , leurs pôles par rapport à c. Le point commun aux trois plans u, f , f, a pour polaire le plan nn n" ; mais, quand ///et ///" tendent vers ///, il en est de même du point commun aux plans p, p', p", et alors, les points n' et //" tendant. \ers n. le plan nn' n" tend vers le plan tangent en n à la surface i|/. Donc

le point /// de la surface <p est le pôle du plan tangent en n à la surface il/.

1-30. Quand deux surfaces sont polaires réciproques, la classe de V une est égale au degré de Vautre . Car, si une droite quelconque A rencontre la surface y en /- points, à ces k points répondent k plans polaires passant par la droite B conjuguée (1196 ) de la droite A et tangents à la surface ip; et inversement, aux k plans menés par B tangentiellement à la surface •}, répondent k points communs à la surface cp et à la droite A.

Il résulte de là que la surface polaire réciproque d'une surface du second degré est une surface du second degré, puisqu’une surface du second ordre est de seconde classe (1194).

1231. Le plus souvent, surtout lorsqu’il s’agit de transformer des propriétés métriques, on prend une sphère pour surface auxiliaire. Alors le point n' de la surface ■»{/ correspondant au point n de la surface f ( fi g . 617) s’obtient en abaissant du centre o de la sphère une perpendiculaire op sur le plan tangent en n à la surface <p et en portant sur cette perpendiculaire une longueur on' telle qu’on ait

op.on’ = ra,

r étant le rayon de la sphère. D’ailleurs, comme la polarité est réciproque, le plan tangent en n' à la surface ^ est à son tour perpendiculaire sur on et coupe cette droite en un point p{ tel que

on.op{ = r2.

Il est évident, d’après cela, que, si l’on considère un ellipsoïde s ayant pour axes <7, b , c, sa polaire réciproque par rapport à une sphère concentrique de rayon r est un autre ellipsoïde dont les axes sont dirigés suivant les même droites que ceux du premier et ont respectivement pour

r2 r 2 r2 longueurs — ■> -) —

abc

1232. Nous terminerons ce paragraphe par une remarque qui nous sera bientôt utile et qui se rattache à la théorie des pôles et des polaires.

Si, d'un point quelconque n d’un ellipsoïde, on abaisse un plan nsr perpendiculaire sur l’un des axes ox de cette surface , et si ion désigne par

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

s le point oit ce plan coupe la perpendiculaire op menée du centre o sur le plan put tangent en «, on a la relation

os . op — a2 ,

et étant la longueur de l'axe dirigé suivant ox ( f/g. 6 f | ) .

En eiïet, le plan nsr a pour pôle, par rapport à l’ellipsoïde, le point t

Fig. 614.

où le plan tangent en n coupe l’axe ox; mais ce plan a le même pôle par rapport à l’ellipsoïde et par rapport à la sphère concentrique de rayon a. Donc le plan pnt passant par t doit avoir son pôle par rapport à la sphère dans le plan nsr, et, comme ce pôle doit être sur op, il n’est autre que le point s, ce qui entraîne la relation ci-dessus.