LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

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nées positives , on imaginera que ce trièdre soit fendu suivant l’axe des j, et que l’on ait rabattu la face zoy en zoyt sur le plan des zx , et la face xoy en xoy7 sur le meme plan des zx. Les trois faces étant ainsi appliquées sur le même plan, on pourra dessiner avec exactitude les trois couples de sections principales en se bornant au quart de chacune d’elles, comme on le voit sur la fig. 6 1 8 - Il suffit dès lors de ramener par la pensée les trois plans dans leur position primitive, de manière à reformer le trièdre, pour acquérir une idée nette de la forme de la surface telle qu’on la voit en perspective dans la fig. 619; on a ménagé dans cette figure une ouverture qui permet de voir la nappe intéiieure. Quant à la fig. 620, elle représente le corps solide ou noyau qui serait recouvert par la nappe intérieure seule.

Fig- dJ9-

Firj. 620.

THÉORÈME

1239. La sphère qui passe par un point quelconque ni de la surface et par la projection q du centre sur le plan tangent en ce point, et qui a son centre sur Vun des axes, coupe le plan principal perpendiculaire à cet axe suivant le cercle principal correspondant.

Par exemple, la sphère qui passe par ni et q et qui a son centre sur l’axe ox coupe le plan yoz suivant le cercle A.

En effet, soient [fig. 621) n un point quelconque de l’ellipsoïde î,p la projection du centre o sur le plan tangent en n , et ns la trace sur le plan nop (qui est ici pris pour plan de la figure) du plan mené par n perpendiculairement à l’axe ox. Faisons tourner la figure de 90 degrés dans son plan autour du point o , de manière à l’amener en onu/g ; ni sera un point quelconque de la surface des ondes et 7 la projection du centre o sur le plan tangent en ce point. Quant à la droite ni g, nouvelle position de ns.

GÉOMÉTRIE DANS I/ESPACE

elle sera perpendiculaire à ns et, par suite, parallèle à la projection de l’axe ox sur le plan de la figure; on aura d’ailleurs ( 1232 ) og.oq — a2.

Cela posé, imaginons le point c où l’axe ox coupe le plan mené perpendiculairement à la droite gm par son milieu i ; c sera le centre de la sphère considérée; soient cl sa projection sur le plan de la figure et h sa distance à ce plan. En désignant par p le rayon du cercle suivant lequel la sphère coupe le plan principal zoy, on aura

p2 = cm — co = [h2 h- dm 2 ) — [h2 -b cio2) = clm — do ,

ou, en appelant k le point de rencontre de mg et de la droite id qui est parallèle à oq ,

p2 = dm — mk = \di -h un j — \ ik ■+■ un ) = cli — ik

— [cli - h ik) ( di — ik) = [clk -h 2 ik) clk — og (og H- gq) = og.oq ,

c’est-à-dire, d’après la relation ci-dessus, p — <7, ce qui prouve que le cercle d’intersection n’est autre que le cercle principal A.

■Î240. Ce théorème, qu’un géomètre anglais, M. Niven, a trouvé par l’analyse, etdont nous venons de donner une démonstration géométrique, fournit une nouvelle solution du problème du plan tangent et une explication simple des particularités de la surface.

Veut-on le plan tangent en un points? On considérera les trois sphères passant par le point m et par chacun des cercles principaux A, B, C; le second point commun à ces trois sphères sera le point </, projection du centre o sur le plan tangent cherché, qui, par suite, n’est autre que le plan mené par q à angle droit sur oq.

Inversement, un plan tangent étant donné, veut-on le point de contact? Parla projection q du centre o sur le plan donné, et par chacun des cercles principaux A, B, C, on mènera trois sphères, et le second point commun m de ces sphères sera le point de contact du plan tangent considéré.

1241. Revenons à la section de la surface par le plan mr, laquelle se compose du cercle B et de l’ellipse B' qui ont quatre points communs réels tels que «, et quatre tangentes communes réelles, telles que viv