LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

(fïg. 6i8 ). Cherchons le plan tangent en a à la surface des ondes. La projection du centre o sur ce plan tangent doit être le second point commun aux trois sphères passant par ^et par chacun des cercles principauxA, B, C; mais, comme le point u est sur le cercle B, la sphère correspondant à ce cercle est indéterminée, et l’on trouve pour la projection du centre sur le plan tangent, non pas un point, mais un lieu qui est le cercle d’intersection des sphères passant par u et par chacun des cercles A et C, et dont le plan est perpendiculaire au plan zox. Il en résulte que la surface admet au point u une infinité de plans tangents ayant pour enveloppe un cône dont le sommet est au point u et dont les tangentes au cercle B et à l’ellipse B' sont deux génératrices opposées.

Considérons en second lieu la tangente commune vvc. Le plan n élevé par cette ligne perpendiculairement au plan zox est évidemment tangent à la surface des ondes aux points v et w. Il est facile de voir que le plan r. touche la surface tout le long clu cercle décrit dans ce plan sur vw comme diamètre . En effet, le point de contact du plan -k doit être le second point commun aux trois sphères passant par la projection v du centre o sur ce plan et par chacun des trois cercles principaux A, B, C; mais, le point v étant sur le cercle B, la sphère relative à ce cercle est indéterminée, et l’on trouve pour le point de contact, non pas un point unique, mais un lieu qui est le cercle commun aux deux sphères déterminées par le point v et par chacun des cercles A etC; ce cercle, dont le plan est évidemment

Fitf. 622.

perpendiculaire au plan zox, n’est autre que le cercle décrit dans le plan 7T sur vw comme diamètre.

Ainsi, la surface des ondes a quatre points coniques et quatre cercles de contact. La Jig. 622 représente la section de la surface par un plan passant par les quatre points coniques (*).

(') M. Mannheim a démontré les propriétés principales de cette surface et

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

1242. M. Darboux, qui a étudié {Comptes rendus, t. XCII) la surface qu’ou obtient quand les cercles A, B, C ont des positions quelconques dans l’espace, a déduit du théorème de M. Niven le moyen de construire les points (et par suite les plans tangents) de la surface des ondes sans passer par la considération de l’ellipsoïde.

O étant le centre de la surface des ondes et q le second point d’intersection des trois sphères passant respectivement par les cercles A, B, C et par un point quelconque m de la surface, l’angle O qm est droit; et il est clair que cette propriété constitue une .définition de la surface; car, si m est un point quelconque de l’espace et q le second point commun aux sphères déterminées par m et par les cercles A, B, C, l’angle O qm n’est plus droit.

Cela posé, prenons deux sphères quelconques passant l’une par le cercle A, l’autre par le cercle B, et cherchons les points de la surface qui sont situés sur le cercle 7 commun à ces deux sphères. Il résulte immédiatement des propriétés des axes radicaux que toute sphère passaut par le troisième cercle C coupera 7 en deux points y. et y', tels que la droite y-y.' aille passer par un point fixe a situé sur la droite commune aux plans des cercles C et 7. Si le point y. appartient à la surface, il faudra que l’angle O y-y’, c’est-à-dire l’angle O y. a, soit droit. Donc le point y. sera sur la sphère admettant 0^ pour diamètre. Cette construction donne deux points sur le cercle 7.