LIVRE VIII

liii. Tout plan bitangent P coupc le tore suivant le système de, deux cercles. (Yvon Villarceau, Comptes rendus, 1 8*8 . )

En effet, prenons pour plan de la figure (fg. 623) le plan méridien perpendiculaire au plan P; les deux points de contact/ et /' seront (887) situés dans ce plan méridien, de sorte que la trace du plan P sera la tangente commune intérieure fof aux cercles w et w'. Désignons par M un point quelconque de la section, et soit gn la trace du parallèle qui passe par ce point; le point M se projettera en m sur gn et ff, et l’on aura

Firj. 623.

o M = on, puisque oM et on sont deux génératrices du cône qui a pour sommet le point o et pour base le parallèle gn. Si l’on rabat le plan P, autour de ff, sur le plan de la figure, le point M viendra donc sur la perpendiculaire élevée au point m sur ff en un point Mi tel, queoMi = on. Gela posé, prolongeons n w jusqu'à sa rencontre s avec ff et menons oe perpendiculaire sur «w; le rapport de oe à w/ est égal à celui de^o à s w ou encore à celui de om à <en et, comme w/=w/?, on a om—oe\ l’égalité des triangles rectangles oen , omMi, montre alors que l’angle ona est égal à oMjm et, par suite, à M\ok, ok étantla perpendiculaire élevée par osüt ff. Si l'on prend ok = r, les triangles 0/M1, own, seront donc égaux, et l’on aura Mi k = ow = cl. On voit ainsi, en redressant le plan, que la section se compose de deux cercles dont le rayon est égal au rayon moyen cl du tore et dont les centres sont situés de part et d’autre de o , à une distance égale à r , sur la perpendiculaire menée par 0 au plan clc la figure .

Partout point du tore passent donc quatre cercles de la surface; ce

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

sont le parallèle, le méridien, et deux des quatre cercles suivant lesquels le tore est coupé par les plans tangents menés par ce point au cône 2 qu’engendre la droite//7 en tournant autour de l’axe oz.

1245. Toute sphère bi tangente coupe le tore suivant un système cle deux cercles. (Mannheim, Nouvelles Annales, 1 856. )

En effet, prenons pour plan de la figure le plan du centre c de la sphère et de l’axe oz du tore. Ce plan méridien renferme les deux points de contact p et p\ puisque les normales /?&>,/?'«', en ces points passent par c et rencontrent oz. Les points p et p' étant d’ailleurs deux points antihomologues des cercles « et w', la droite pp' passe par le centre de similitude o. Soient P et Q les plans tangents au cône 2 menés par la droite pp\ et T le plan tangent commun à la sphère et au tore au point p ; l’un 0 des deux cercles suivant lesquels le plan p coupe le tore passe par p et p' et a pour tangente en p l’intersection L des plans P et T; mais le cercle a que le plan P détermine dans la sphère passe aussi par les points p et p' et a pour tangente en p la droite L. Donc les cercles 0 et <r coïncident, et l’on verrait de même que le cercle que le plan Q détermine dans la sphère coïncide avec l’un de ceux que ce plan détermine dans le tore.

4246. Nous terminerons ces notions sur le tore par la solution d’un problème qui se présente dans les applications (Mannheim, Cours de Géométrie descriptive, 1880) :

Etant donné un tore et un point quelconque S de l’espace, mener par le point S des droites bitangentes au tore.

Soit SL l’un de ces rayons bitangents ; en tournant autour de l’axe de révolution du tore, il engendre un hyperboloïde de révolution qui touche le tore suivant les deux parallèles engendrés par la rotation des points de contact de la droite SL.

Considérons le plan méridien qui passe par le point donné S. Ce plan coupe le tore suivant deux cercles Ci et C2 et l’hyperboloïde suivant une hyperbole passant par S et bitangente à chacun des cercles Ci et C2. Soient S p, S q les tangentes menées de S aux cercles Ct et C2; prenons sur S/;, Sr = S <7, en sorte que pr — Sp — S <7. L’hyperbole est le lieu des points pour lesquels la différence des tangentes menées de ces points aux cercles Ci et C2 est constante et égale à pr. Si donc on décrit, dans le plan méridien considéré, un cercle concentrique à Ci et passant par r, ce cercle coupera C2 en deux points a et b qui seront les points où l’hyperbole touche le cercle C2. Ces points appartiennent aux parallèles de contact du tore et de l’hyperboloïde. Les rayons bitangents demandés seront donc les droites qui, passant par S, s’appuient sur ces deux parallèles, c’est-à-dire les génératrices communes aux deux cônes qui ont