LIVRE V

LE PLAN

§§ I, II. — Premières notions sur le plan. — Droites et plans

parallèles.

531. Mener par un point donné une droite qui rencontre deux droites données non situées dans un même plan.

532. Mener à une droite donnée une parallèle qui s’appuie sur deux droites données non situées dans un même plan.

533. Mener par un point donné une droite qui rencontre une droite et un cercle non situés dans un même plan.

531. Dans tout quadrilatère gauche, c’est-à-dire dont les côtés ne sont pas situés dans un plan unique, les milieux des côtés sont les sommets d’un parallélogramme.

535. Plusieurs droites étant données en grandeur, direction et sens, si on les transporte parallèlement à elles-mêmes, de telle sorte que l’extrémité de chacune d’elles se confonde avec l’origine de la suivante, la droite qui part de l’origine de la première et aboutit à l’extrémité de la dernière prend le nom de résultante des droites proposées; celles-ci sont dites à leur tour les composantes de la résultante. Composer des droites, c’est trouver leur résultante; décomposer une droite, c’est trouver des droites qui aient pour résultante la droite donnée. Ces définitions posées, démontrer les propositions suivantes :

i° La résultante de plusieurs droites reste la même, quel que soit l’ordre dans lequel on compose ces droites.

2° La résultante de plusieurs droites n’est pas changée quand on remplace un certain nombre d’entre elles par leur résultante.

3° Si, sans changer la direction ni le sens des composantes, on altère

5lO GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE.

leurgrandeur dans un certain rapport, la résultante conserve sa direction et son sens, mais sa grandeur est altérée dans le môme rapport.

4° Si , sans altérer la grandeur ni la direction des composantes, on change leur sens, la résultante conserve sa grandeur et sa direction, et change de sens.

5° Pour décomposer une droite D en deux autres dont l’une soit une droite donnée <7, il suffit de composer D avec d prise en sens contraire.

536. Une droite se déplace en restant parallèle à un plan donné et en s’appuyant sur deux droites non situées dans un même plan : quel est le lieu des points qui divisent la droite mobile dans un rapport donné?

§§ III, IV. — Droite et plan perpendiculaires. — Projection d’une

droite sur un plan. — Angle d’une droite et d’un plan. — Plus

courte distance de deux droites.

537. Mener, dans un plan donné et par un point de ce plan, une droite perpendiculaire à une droite donnée d’une manière quelconque dans l’espace.

538. Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu’elle soit également inclinée sur trois droites passant par son pied dans ce plan.

539. Étant donnés un plan P et deux points A et B situés d’un même côté de ce plan, trouver sur le plan P un point tel, que la somme de ses distances aux points A et B soit minimum.

540. Étant donnés un plan P et deux points A et B situés de part et d’autre de ce plan, trouver sur le plan P un point tel, que la différence de ses distances aux points A et B soit maximum.

541. Étant donnée une droite D et deux points A et B situés comme on voudra dans l’espace, trouver le point de la droite D qui est équidistant des points A et B.

542. Étant donnés un triangle ABC et un plan quelconque P, trouver le point du plan P qui est équidistant des trois sommets du triangle ABC.

543. Trouver le lieu des points d’un plan dont la différence des carrés des distances à deux points donnés hors de ce plan est constante.

544. Trouver le lieu des points d’un plan d’où l’on voit sous un angle droit une droite située hors de ce plan.

545. La projection d’un angle droit sur un plan qui n’est parallèle à aucun de ses côtés, est un angle obtus si le plan de projection coupe les deux côtés de l’angle droit ou leurs deux prolongements; sinon, cette projection est un angle aigu.

546. Si par l’une des diagonales d’un parallélogramme on mène un

plan quelconque, les perpendiculaires abaissées sur ce plan des extrémités de l’autre diagonale sont égales.

547. Deux droites égales AB, A' B', étant situées d’une manière quelconque dans l’espace, trouver une droite D telle qu’une rotation autour de D amène simultanément A en A' et B en B'.

548. Étant donné un angle AOB, trouver le lieu des points M de l’espace tels que, si on les joint au sommet O de l’angle, la somme des projections de la droite OM sur les deux côtés de l’angle soit constante.

549. Le plan mené parallèlement à deux droites non situées dans un même plan, par le milieu de leur plus courte distance, passe par les milieux de toutes les droites qui joignent un point de la première droite à un point de la seconde.

550. Lorsqu’une droite est parallèle à un plan, la plus courte distance de cette droite à toutes les droites du plan qui ne lui sont pas parallèles est constante.

551. Entre deux droites données d’une manière quelconque dans l’espace, mener une droite parallèle à un plan donné et ayant une longueur donnée.

552. Trouver le lieu décrit par le milieu d’une droite de longueur constante, dont les extrémités s’appuient sur deux droites rectangulaires et non situées dans un même plan.

553. Un angle AOB tourne dans l’espace autour d’une droite ZZ' parallèle à sa bissectrice; démontrer que, si A'O'B' est une seconde position d’ailleurs quelconque de cet angle : i° les droites OA et O' A' ne sont pas dans un même plan, non plus que les droites OB et O' B'; 20 OA et O'B' sont dans un même plan, et il en est de même de O' A' et de OB; 3° trois quelconques des droites OA, OB; O' A', O’B', ne sont pas parallèles à un même plan.

554- Soient n plans tels que deux quelconques ne soient pas parallèles, que trois quelconques ne soient pas parallèles à une même droite, et enfin que quatre quelconques ne passent pas par un même point. Prouver

que le nombre des droites d’intersection de ces plans est égal à - n{n — 1),

jtt

que le nombre des points d’intersection de ces droites est égal à ~n{n — 1) (/? — 2).

555. Si la somme des perpendiculaires abaissées d’un point A sur deux plans donnés est égale à la somme des perpendiculaires abaissées d’un autre point B sur les mêmes plans, cette somme reste la même pour tout

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

autre point C de la droite AB. — Étendre ce théorème au cas d’un nombre quelconque de pians.

556. Soient trois points A, B, C, et deux plans P et Q. Si la somme des deux perpendiculaires abaissées de chacun de ces points sur les deux plans est la môme pour les trois points, cette somme restera encore la même pour tout autre point du plan ABC. — Étendre ce théorème au cas d’un nombre quelconque de plans.

§§ V, Vî, VIL — Angles dièdres. — Plans perpendiculaires.

Angles polyèdres.

557. Si, par un point 0 de l’espace, on mène deux parallèles OA et OB à un plan donné P, puis par le même point 0 deux plans respectivement perpendiculaires à OA et à OB, l’intersection de ces plans est perpendiculaire au plan P. (Cette proposition est utile dans les applications.)

558. Si l’on projette un même point de l’espace sur deux plans qui se coupent, les perpendiculaires abaissées des deux projections sur l’intersection des deux plans la rencontrent au même point. — Réciproquement, si celte condition est remplie pour doux points des deux plans, ces points sont les projections d’un même point de l’espace.

559. Deux droites égales, parallèles et de même sens, ont leurs projections sur un môme plan égales, parallèles et de même sens. — Réciproque de cette proposition.

560. Toute ligne qui se projette, sur deux plans qui se coupent, suivant une ligne droite, est elle-même une ligne droite.

561. La projection, sur un plan ou sur un axe, de la résultante de plusieurs droites est la résultante des projections de ces droites. [Voir la Question 535.)

562. Si une droite est également inclinée sur les deux faces d'un angle dièdre, ses traces sur les deux faces sont également distantes de l’arête de l’angle dièdre. — Réciproque.

563. Quel est le lieu des points équidistants de deux plans qui se coupent ?

56 î. Quel est le lieu des points de l’espace équidistants de deux droites qui se coupent?

565. Les perpendiculaires abaissées d’un même point sur des plans dont les intersections sont parallèles sont dans un même plan.

566. Deux angles dièdres qui ont leurs arêtes parallèles et leurs faces perpendiculaires chacune à chacune sont égaux ou supplémentaires.

QUESTIONS PROPOSÉES. 5l3

567. Quel est le lieu des points équidistants de deux plans donnés et de deux points ou de deux droites données situées dans un même plan?

568. Quel est le lieu des points tels, que la somme de leurs distances à deux plans donnés soit égale à une droite donnée?

569. Quel est le lieu des points tels, que la somme de leurs distances à trois plans donnés soit égale à une droite donnée? — Étendre ce problème au cas d’un nombre quelconque de plans.

570. Trouver sur une droite donnée un point tel, que la somme de ses distances à deux plans qui se coupent soient un minimum.

571. Montrer que, si par un même point de l’arête d’un angle dièdre on mène dans chaque face une droite faisant un angle donné a avec cette arête, l’angle rectiligne ainsi obtenu ne varie pas proportionnellement à l’angle dièdre, à moins que l’angle a ne soit droit.

572. Dans tout angle trièdre, les plans bissecteurs des angles dièdres se coupent suivant une même droite. — Quel est le lieu des points équidistants des trois faces d’un angle trièdre indéfiniment prolongées?

573. Dans tout angle trièdre, les plans menés perpendiculairement aux faces, par les bissectrices de ces faces, se coupent suivant une même droite. — Quel est le lieu géométrique des points équidistants des trois arêtes d’un angle trièdre indéfiniment prolongées?

574. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes perpendiculairement aux faces opposées se coupent suivant une même droite.

575. Dans tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes et les bissectrices des faces opposées se coupent suivant une même droite.

Remarque. — Les quatre théorèmes précédents sont vrais lorsque le sommet de l’angle trièdre se transporte à l’infini, c’est-à-dire lorsqu’il s’agit de trois plans dont les trois intersections deux à deux sont parallèles.

576. Couper un angle polyèdre à quatre faces, de manière que la section soit un parallélogramme.

577. Si, dans le plan de chaque face d’un angle trièdre et par son sommet, on mène une perpendiculaire à l’arête opp.osée, les trois perpendiculaires obtenues sont dans un même plan.

578. Tout plan perpendiculaire à l’une des arêtes d’un angle triedre rectangle coupe cet angle trièdre suivant un triangle rectangle.

579. La somme des angles formés par les arêtes d’un angle trièdre avec les faces opposées est comprise entre la somme des faces et la moitié de cette somme.

580. Si, par un point pris dans l’intérieur d’un angle polyèdre, on

I». et DK C. — Tr. de Géo/n. (IIe Partie). 33

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

abaisse des perpendiculaires sur toutes ses faces, le nouvel angle polyèdre ainsi formé est supplémentaire du premier. ( Voir les nos 572, 573.)

581. Dans tout angle polyèdre convexe de n faces, la somme des angles dièdres est comprise entre in et in — 4 angles droits.

582. La somme des angles aigus formés avec les arêtes d’un trièdre trirectangle par une droite située dans l’intérieur du trièdre et passant par son sommet est moindre que i8o°. — Peut-on assigner une limite inférieure de la même somme?

583. A, B, C, étant trois points pris à volonté sur les arêtes d’un angle trièdre trirectangle et O la projection du sommet S de cet angle trièdre sur le plan ABC, démontrer que le triangle ASB est moyen proportionnel entre les triangles ABC et OAB.

581. Étant donné le triangle suivant lequel la feuille de dessin est rencontrée par un angle trièdre trirectangle, trouver, par des constructions graphiques exécutées sur le plan de cette feuille, les inclinaisons des trois arêtes de l’angle trièdre sur ce plan.

585. Couper un angle trièdre trirectangle par un plan tel, que la section soit un triangle égal à un triangle donné.