LIVRE VL

LES POLYÈDRES

§§ I, IL — Du prisme.

593. i° Le volume d'un prisme triangulaire apourmesurelamoitiéduproduit de Faire d’une face latéralepar la distance de cette face à l'arête opposée.

2° Si, sur trois droites parallèles et non situées dans un même plan, on prend d’une manière quelconque des longueurs égales à une droite donnée, le volume et la surface latérale du prisme triangulaire ainsi formé sont constants.

594. Couper un cube par un plan de manière que la section soit un hexagone régulier.

595. Deux prismes sont égaux : i° lorsqu’ils ont un angle dièdre égal compris entre une base et une face égales chacune à chacune et semblablement disposées; i° lorsqu’ils ont une base et deux faces adjacentes égales chacune à chacune et semblablement disposées.

596. Deux prismes triangulaires sont égaux lorsqu’ils ont leurs faces latérales égales chacune à chacune et semblablement disposées.

597. Vérifier par la Géométrie la formule qui donne le cube d’une somme ou d’une différence de deux parties.

598. On donne trois droites deux à deux non situées dans un même plan, et l’on demande de construire un parallélipipède dont trois arêtes soient sur ces trois droites.

599. Dans tout prisme quadrangulaire, la somme des carrés des arêtes surpasse la somme des carrés des diagonales de huit fois le carré de la droite qui joint les milieux communs de ces diagonales considérées deux à deux. — Application au parallélipipède quelconque.

600. Dans un hexaèdre quelconque, la somme des carrés des arêtes surpasse la somme des carrés des diagonales de quatre fois la somme des carrés des quatre droites qui joignent les milieux des diagonales du polyèdre et les milieux des diagonales de deux faces opposées. — Application au parallélipipède.

601. Mener par une droite donnée un plan qui partage un parallélépipède en deux parties équivalentes.

602. Dans tout prisme triangulaire, l’aire de la plus grande face est plus petite que la somme des deux autres.

603. De tous les prismes de n faces, c’est le prisme régulier qui a :

i° La plus petite aire latérale, les bases étant équivalentes et les hauteurs égales ;

a0 La plus grande base et le plus grand volume, les aires latérales étant équivalentes et les hauteurs égales;

3° La plus grande hauteur et le plus grand volume, les bases et les aires latérales étant respectivement équivalentes ;

4° La plus petite base et la plus grande hauteur, les aires latérales et les volumes étant respectivement équivalents.

604. De deux prismes réguliers, celui dont le nombre de faces est le plus grand possède les quatre propriétés énoncées dans le numéro précédent.

603. De tous les prismes quadrangulaires, c’est le cube qui, à égalité d’aire, possède le plus grand volume et qui, à égalité de volume, possède la plus petite aire.

§§ III, IV. — De la pyramide.

606. Démontrer que deux tétraèdres sont égaux : i° lorsqu’ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées; i° lorsqu’ils ont une face égale adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés ; 3° lorsqu’ils ont trois faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ; 4° lorsqu’ils ont une arête égale et cinq angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

607. Les plans menés perpendiculairement sur les milieux des arêtes d’un tétraèdre se rencontrent en un même point.

608. Les plans bissecteurs des angles dièdres d’un tétraèdre se rencontrent en un même point.

609. Les perpendiculaires élevées sur chaque face d’un tétraèdre par le centre du cercle circonscrit à la face considérée se rencontrent en un même point.

610. Les droites qui joignent les sommets d’un tétraèdre aux points d’intersection des médianes des faces opposées se rencontrent en un môme point, situé au quart de chacune de ces droites à partir de la face correspondante. {Voir le n° 718.)

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

61 1 . Les (rois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d’un tétraèdre se coupent mutuellement en parties égales.

612. Trouver dans l’intérieur d’un tétraèdre un point tel, qu’en le joignant aux quatre sommets on décompose ce tétraèdre en quatre tétraèdres équivalents.

613. Si l’on prend un point O dans l’intérieur d’un tétraèdre SABC, et si l’on prolonge les droites SO, AO, BO, CO, jusqu’à la rencontre des faces opposées en .v, <7, b , c, on a la relation

O.v Oa Ob Oc

614. Si l’on coupe un prisme ou une pyramide par un plan non parallèle à la base, et si l’on prolonge les côtés de la section jusqu’à la rencontre des côtés correspondants de la base, les points d’intersection obtenus sont en ligne droite.

015. Étant données les faces d’un tétraèdre, trouver, en ne se servant que du compas, la longueur de la hauteur du tétraèdre et le pied de cette hauteur sur le plan de la base.

016. Deux tétraèdres qui ont un angle trièdre égal sont entre eux comme les produits respectifs des arêtes qui comprennent cet angle. — En déduire la première partie du théorème du n° 684.

617. Deux tétraèdres qui ont une arête égale et les angles dièdres correspondant à cette arête égaux chacun à chacun sont entre eux comme les produits des faces qui comprennent le dièdre égal.

618. Le plan bissecteur de l’angle dièdre d’un tétraèdre partage l’arête opposée en deux segments proportionnels auxfaces qui comprennent l’angle dièdre. — Considérer le plan bissecteur de l’angle dièdre extérieur.

619. Soient le tétraèdre SABC et le point O où la droite SO également inclinée sur les trois faces latérales ( voir la question 572) rencontre l.i base ABC : démontrer que les triangles OAB, OBC, OAC, sont proportionnels aux faces latérales correspondantes.

620. Le plan déterminé par une arête d’un tétraèdre et le milieu de l’arête opposée partage ce tétraèdre en deux tétraèdres équivalents.

621. Si par la droite DE, qui joint les milieux de deux arêtes opposées SA, BC,d’un tétraèdre SABC, on mène un plan quelconque qui coupe l’arête SB en F et l’arête AC en G, la droite FG est divisée par la droite DE en deux parties égales.

622. Tout plan conduit par les milieux de deux arêtes opposées d’un tétraèdre le partage en deux volumes équivalents.

G23. On donne une droite sur l’une des faces d’un tétraèdre, et l’on demande de mener par cette droite un plan qui détermine avec les faces de ce tétraèdre un autre tétraèdre qui soit au premier dans un rapport donné.

62i. On donne une droite sur l’une des faces d’un angle trièdre, et l’on demande de mener par cette droite un plan qui ferme l’angle trièdre en déterminant un tétraèdre de volume déterminé.

62o. Quelle est la différence des volumes d’un tronc de pyramide à bases parallèles et d’un prisme de même hauteur ayant pour base la demi-somme des bases du tronc de pyramide? — Quelle erreur commet-on en remplaçant l’un des volumes par l’autre, pour une hauteur de 6 mètres et pour des bases du tronc de pyramide égales à 3m'l,y5 et à 2mq,85?

626. Mener, parallèlement à une droite donnée ou par un point donné, un plan qui partage un tétraèdre donné en deux parties équivalentes.

627. Trouver l’expression du volume d’un tronc de pyramide quelconque à bases parallèles, en le décomposant en troncs de pyramide triangulaires.

628. Les arêtes latérales d’une pyramide triangulaire SABC ont pour longueurs L, M, N ; on coupe cette pyramide par un plan abc non parallèle à la base, qui rencontre les arêtes latérales à des distances du sommet égales à /, ai, n : trouver le volume du tronc de pyramide ainsi déterminé.

629. On donne deux tétraèdres SABC, S'A'B'C', tels, que les droites qui unissent les sommets correspondants concourent en un même point; démontrer que, si les faces correspondantes des deux tétraèdres se coupent, les quatre droites d’intersection sont dans un même plan.

630. Soit un tétraèdre SABC ; par un point O pris dans la face SBC, on mène aux arêtes SA, AB, AC, jusqu’aux faces ABC, SAC, SAB, les parallèles OD, OE, OF : démontrer la relation